Question

x,y是正实数,x+y=3xy+1,求xy和x+y最值

Answer 1

x,y是正实数,
x+y=3xy+1≥2√(xy),
设u=√(xy)>0,则3u^2+1≥2u,
3u^2-2u+1=3(u-1/3)^2≥0对u>0恒成立。
设v=x+y>0,由x+y=3xy+1得v≤3v^2/4+1,
3v^2-4v+4=3(v-2/3)^2+8/3≥0,对v>0恒成立。
由x+y=3xy+1得y=(x-1)/(3x-1),
又x>0,y>0,所以y的定义域是0<x<1/3,或x>1.
y的值域是(0,1/3)∪(1/3,+∞),无最值。
可以吗？