Question

数学题 请教

在RT三角形ABC中，角C=90度 角B=30度 BC=4 左右平移等边三角形DEF的两个顶点E、F，始终在边BC上，DE、DF分别与AB相交于点G、H，当点F与点C重合时，点D恰好在斜边AB上

1。求三角形DEF的边长
2。在三角形DEF做平行移动的过程中，图中是否存在与线段CF始终相等的线段？若存在，请指出哪条
3。假设点C与点F的距离为X，三角形DEF和三角形ABC的重叠部分面积为Y，求Y与X的函数解析式和定义域

Answer 1

1 【解】因为当F与C点重合的时候，D正好在斜边AB上，因此可以通过此时两个
三角形的关系求出三角形DEF的边长。
当D在斜边AB上的时候，已知三角形DEF为等边三角形，所以∠EFD(此
时也就是角ECD）=60度，又角C为直角，所以角DCA（也是∠DFA)=30度
角B=30度，所以角A=60度，BC=4，所以AC=4/根号3，AB=8/根号3
已得角DFA=30度，所以可知，DC（此时候也就是DF）=DE=CE=2
所以等边三角形DEF的边长为2 【解毕】
2 【解】FC=BC-BF=BC-EF-BE，又显然可得，BE=EG，又BC=4，EF=ED=FD=2，所以FC=2-EG，因此，FC恒等於GD【解毕】

3 【解】首先由於E，F始终在BC上移动，且DEF为等边三角形，所以显然可
知FD垂直于BA（因为角DFE=60度，过F做平行於AC的直线交AB于O，
则显然角DFO=30度，角FOH=60度，所以角FH0=90度，所以FD垂直于
AB）
情况1： E点于B点重合，则重合面积就是直角三角形FHB的面积，所以Y=根
号3/2，x=2
情况2： E，F点位异於B，C的点，由2知道GD=FC=x，又角HGD=角EGB=角
EBG=30度，所以，HD=1/(2x),GH=根号3/(2x),所以三角形GHD的面
积是根号3/(8x)，又三角形DEF的面积是根号3，所以Y=DEF的面积-
GHD的面积=7乘以根号3/(8x)，0<x<2
情况3： F点于C点重合，则Y=DEF的面积=根号3，x=0
综合1，2，3就是所求。【解毕】