Question

讨论函数单调性 讨论y=x+1/x的单调性,并证明你的结论.

Answer 1

在R上任取x1,x2,且x1＜x2.
则有
f(x1)-f(x2)=x1+(1/x1)-x2-(1/x2)
通分有
=(x1^2x2+x2-x1-x1x2^2)/x1x2
=(x1x2-1)(x1-x2)/x1x2
这样并不能判断其正负,进行分类讨论.：
①：当x1≥1,x2＞1,得到f(x1)-f(x2)＜0,即f(x)在[1,+∞）上是增函数.
②：当0＜x1＜x2≤1,得到f(x1)-f(x2)＞0,即f(x)在(0,1)上是减函数.
③：当-1≤x1＜x2＜0,得到f(x1)-f(x2)＞0,即f(x)在[-1,0)上是减函数.
四：当x1＜x2＜-1,得到f(x1)-f(x2)＜0,即f(x)在(-∞,-1)上是增函数