如图:P是等边三角形ABc内一点连接PA,PB,PC,以BP为边作
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（1）猜想：AP＝CQ．证明如下：
在△ABP与△CBQ中,∵AB＝CB,BP＝BQ,∠ABC＝∠PBQ＝60°,所以△BCQ可以看作是△BAP绕点B顺时针旋转60°而得到的．∴AP＝CQ．
（2）由PA∶PB∶PC＝3∶4∶5,可设PA＝3a,PB=4a,PC=5a．
连接PQ,在△PBQ中,由于PB＝BQ＝4a,且∠PBQ＝60°．
∴△PBQ为正三角形．∴PQ＝4a．
于是在△PQC中,∵PQ2＋QC2＝16a2+9a2=25a2=PC2．
∴△PQC是直角三角形,∠PQC=90°．
在△ABP与△CBQ中,∵AB＝CB,BP＝BQ,∠ABC＝∠PBQ＝60°,所以△BCQ可以看作是△BAP绕点B顺时针旋转60°而得到的．∴AP＝CQ．
（2）由PA∶PB∶PC＝3∶4∶5,可设PA＝3a,PB=4a,PC=5a．
连接PQ,在△PBQ中,由于PB＝BQ＝4a,且∠PBQ＝60°．
∴△PBQ为正三角形．∴PQ＝4a．
于是在△PQC中,∵PQ2＋QC2＝16a2+9a2=25a2=PC2．
∴△PQC是直角三角形,∠PQC=90°．
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