Question

极简博弈论之一：极小极大与纳什均衡

Answer 1

如果你是两个孩子的母亲，要给两个馋嘴的孩子分一块蛋糕，不管怎么分，最后的结果总是，有一个孩子（甚至是两个孩子）觉得自己的那块更小。

这是博弈论中的一个经典问题：分蛋糕。该怎么分才能让两个孩子都满意？博弈论可以帮我们破了这个局。

我们把分蛋糕问题暂且搁到一边，先来认识一下博弈论的两位大师——冯·诺依曼和约翰·纳什。

冯·诺依曼（后文简称冯）有两个领域的鼻祖，他被称为“计算机之父”，现代计算机的原型正是出自冯的设计，这个原型一直沿用到今天，他还被称为“博弈论之父”，因为他最早对零和博弈进行了深入研究，提出了“极小极大原理”。

约翰·纳什（后文简称纳什）比冯晚出生20多年，他年轻有为，在博士论文中便提出了著名的“纳什均衡”理论，可惜天妒英才，纳什的妄想症随着年龄的增长越发严重，然而他的妻子从未抛弃他，一直陪伴纳什到人生的最后一刻，方才有了震撼人心的电影《美丽心灵》。

回到分蛋糕的问题，我们请冯和纳什两位大师出场，来解决分蛋糕问题。
首先，我们要把分蛋糕问题需要转化为两个孩子博弈问题，博弈的规则是：两个孩子分蛋糕，一个切蛋糕，另一个先选蛋糕。

博弈论的目标就是寻找问题的理性解——不考虑情感因素，单从理性角度分析所得的答案。

我们先把两个孩子的策略和对应的结果做成一个表格。记切蛋糕的孩子为A，选蛋糕的孩子为B，用“A得到的蛋糕大小，B得到的蛋糕大小”表示分蛋糕的结果。

| B选大块 | B选小块
:----:|:-----:|:----:
A切成两块一样大 | 一半，一半 | 一半，一半
A切成两块不一样大 | 小块，大块 | 大块，小块

先请冯来切蛋糕，即冯是A，他自然要运用“极小极大原理”。

“极小”指的是B一定会挑选大块，所以留给自己的肯定是小块，也就是表格中的左边一列；
“极大”指的是A要使自己的蛋糕尽量大；
“极小极大”组合起来的意思是，A已知B会选大块，所以会把较小的一块切得大一些，对A来说，最好的结果就是表格的左上角“一半、一半”，即两人各分得半块蛋糕，这就是这个问题的理性解。

这就是极小极大原理，是不是很简单？

纳什均衡也不难！

这次换做纳什来切蛋糕了（即纳什是A），他自然要运用“纳什均衡”来寻找理性解。A假设自己切成不一样大小的两块，B自然会选大块，也就是表格中左下角一格。

这时，A会分别问B和自己一个问题：你后悔吗？
B想：我得到了大块，我不后悔！
A想：如果我切成一样大的两块，能得到的更多，我后悔了！

于是A改变策略，切成一样大的两块，对应表格的左上角。还是重复刚才的问题，你后悔吗？
B想：既然两块蛋糕一样大，后悔也没用，我不后悔！
A想：既然B已经选了大块的，我能得到半块蛋糕已经是最好的结果了，我也不后悔！
当两人都不后悔时，纳什均衡就达成了！

寻找纳什均衡点一定要注意：“是否后悔”是对方不变更策略的前提下做出的选择。这很像球迷们看球时候的心情，每当看到空门不进，球迷们的心声总是：不会吧！这球换我也能射进啊！

单从分蛋糕的例子来看，两个理论得到的答案是一样的。二者的区别在于适用范围，极小极大原理只能用来分析零和博弈——双方利益总和不变的博弈问题，纳什均衡对零和博弈、非零和博弈都适用，这也是纳什均衡厉害的地方。不过，纳什均衡为的是找到“使双方都不后悔的理性解”，这个理性解未必会给博弈中的个体或集体带来利益最大化。

至此，我们认识了两位大师——冯·诺依曼和约翰·纳什，学习了两个原理——极小极大和纳什均衡。

接下来，我们就来学习一个熟悉又陌生的博弈问题—— 囚徒困境 。

还有哦： 极简博弈论之二：你我都是囚徒