数学基础系列：极限与连续
本文整理一些与极限和连续有关的概念和定理。
我们先从探讨“距离”的概念出发。我们知道对于 ，可以定义一个非负的 Euclidean distance 。通过这个，我们可以定义某个点 的 - 邻域 （ -neighbourhood ）为集合 ，其中 。
如果对于集合 ， ，都 ，使得该点的 -邻域是 的子集，这样的集合 叫 开集（open set） 。 和 也都为开集。
上的所有开集组成的collection，称为 topology of （拓扑），或者 usual topology on （通常拓扑）。我们还可以在 的子集或子空间（subspace）上讨论topology，对于 ，如果 ，都 ，使得 ，就称 在 中是 开 的（ is open in ）。比如 ，在 中不是开的，但在 中是开的。所有这些集合定义了relative topology on （相对拓扑），由定义直接可得以下定理。
定理 ：若 在 中是开的，则 在relative topology on 中是开的。
对于某个点 ，若 ， 均为非空集合，则称 为集合 的一个 闭包点（closure point） ，它不一定是 中的元素。 的所有的闭包点组成了 的 闭包（closure） ，记作 或 。
对于某个点 ，若它是 的闭包点，则称它是 的 会聚点（accumulation point） 。若 是 的闭包点且 ，则 也是 的会聚点。而那些不是会聚点的闭包点，就是 的 孤点（isolated point） 。比如集合 ，则 为 的孤点。
若点 满足 ， 均非空，则 称为集合 的 边界点 （ boundary point ）。可以将 的所有边界点组成的集合记为 ，则 。
的 内部 （ interior ）就是集合 。
闭集 （ Closed set ）就是包含了该集合自己所有的闭包点的集合，对这样的集合来说， 。
定理 ： 上的开集，其补集是闭集。
这是闭集的另一个定义。可以看出， 和 都既是开集又是闭集。推广至relative topologies，有如下定理。
定理 ：若 在 中是开的，则 在 中是闭的。
定理 ：（1）开集的collection的并是开的；（2）若 和 都是开的，那么 也是开的。
定理 ：每个开集 都可表达为可数个不交开区间的并。
定理 ： 包含了 中的开集和闭集。
若一个collection 满足对于一个 ， ，则称 为 的一个 覆盖 （ covering ）。若这里每个 都是开集，则称该覆盖为 开覆盖 （ open covering ）。
定理 （Lindelof's covering theorem） ：对于由 上的开子集组成的任意的一个collection ，必定存在可数的subcollection ，使得
这也就是说，若 是 中某个集合的覆盖，那么它必定包含了一个可数的子覆盖。这也叫 Lindelof property 。
由覆盖的概念，可以导出一个更重要的概念： 紧致性 （ compactness ）：若对于集合 ， 每个 的 开覆盖 都包含了一个 有限 的子覆盖，则称 是 紧的 （ compact ）。
理解这个概念的关键在于“每个”和“开覆盖”。举个例子，对于 ，可数collection 是一个开覆盖，但没有有限的子覆盖，因此 不是紧的。
若 和 ， ，则称 是 有界的 （ bounded ）。换句话说，有界集合必须被一个有限区间所包含。有了有界的概念，我们回到紧致性。
定理 ：在 中的一个集合是紧的，当且仅当它是闭的、有界的。
对于 的子集 ，若 ，则称 在 中 稠密 （ dense ）。
定理 ：若 是 上的区间， 是一个可数集合，则 在 中稠密。
实序列（real sequence）是一个从 到 的映射，定义域中的元素称为indices，它们的值域称为序列的项/成员/坐标（terms/members/coordinates）。
称 收敛于 （ converge to）极限 ，若 ， ，使得 。若序列趋于 则称 发散 （ diverge ），有时这也叫在 中收敛，这是为了区别它们与那些不收敛到一个固定点的序列。
定理 ：任意在紧集中的单调序列均收敛。
即使序列不收敛，也可能会无限次地到达某个点。若存在子序列（subsequence） 和常数 ，使得 ，则称 为序列的 聚集点 （ cluster point ）。比如序列 ，可以用它的奇数位置元素和偶数位置元素分别构造出收敛子列。
子序列的概念很重要。典型的推理路线是这样的，先确定一个收敛子列（可能是单调序列），再利用序列的其他特性来说明聚集点是一个极限。由于序列的成员都是在紧集中的，一方面紧集是有界的，所以这样的序列不可能发散至无穷大，另一方面紧集又是闭的，所有的极限点或聚集点都在集合中。
定理 ：在 上的紧集中的任意序列，都有至少一个聚集点。
定理 ：在紧集中的序列，要不就有两个或更多的聚集点，要不就收敛。
例子：考虑序列 ，若 则收敛于 ，若 则收敛于 ，若 则其在 中发散，或者叫在 中收敛至 ，若 则在两个聚集点 和 之间摇摆，若 则在 中发散，或者说在 中的两个聚集点 和 之间摇摆。
接下来讨论实数序列。实数序列 的 上极限 （ superior limit ）定义为
类似可定义 下极限 （ inferior limit ）为
当 与 相等，序列收敛。
这几个概念可用来处理极限问题。有时候，直接假设极限存在是不合理的，但limsup和liminf是总是存在的，只需推导它们，再说明它们相等就行，另一个充分条件是 ，也可以推出极限存在。
对于实数序列，有一个判断收敛的 Cauchy准则 （ Cauchy criterion ）： 收敛，等价于， ， ，使得对于 ， ，有 。满足这个条件的，也叫 Cauchy序列 （ Cauchy sequence ）。满足本节开头对收敛的定义的数列必为Cauchy数列，实数Cauchy数列也必定有极限，两种极限的定义在 上等价。但Cauchy准则在很多时候更容易检验。
在集合 中的Cauchy序列，它的极限是 的会聚点；反之，每个 的会聚点 ，都存在极限为 的Cauchy序列。因此， 极限点 （ limit point ）有时是会聚点（accumulation point）的同义词。
定理 ：任意实数都是某个有理数Cauchy序列的极限。
该定理意味着，任一实数的任一 -邻域中，必定存在一个有理数，即 在 中是稠密的。另外， 的补集 也是稠密的，因此，正常人的直觉“稠密的集合的补集是稀疏的”是错误的。
定理 ：任意开区间都是某个端点为有理数的闭子区间序列的极限。
这说明了，开集序列的极限不一定是开的，闭集序列的极限不一定是闭的。但是，非递减的开集序列的极限是开的，非递增的闭集序列的极限是闭的。
本节讨论函数及其连续性的概念。现有一个在实变量上的函数 ， ， ，对于“ 连续性 ”（ continuity ）， 在 处连续的正式定义为： ， ，使得只要 就有 。若 在 的每个点上都连续，则称它在 上连续。
定理 ：假设 在 的所有点上连续，那么，若 在 上是开的则 在 上是开的，若 在 上是闭的则 在 上是闭的。
注意，这条定理没有说，若 是开的则 是开的。如果一个映射满足若 是开的则 是开的，可以称为 开映射 （ open mapping ）。由于 ，因此开映射未必是 闭映射 （ closed mapping ）。但有一种特殊的函数，就是 同胚 （ homeomorphism ）。同胚是这样的一种函数，它是 - onto（满射、单射）、连续，并且反函数也连续。若 为同胚，则 也是同胚，同胚既是开映射，又是闭映射。
目前我们定义的连续，是关于函数在某个点处的性质，并不是函数自身的性质，为此还需要引入 一致连续 （ uniformly continuous ）的概念： ， ， ，使得，只要 ，就有 。
定理 ：如果一个函数在 紧集 上处处连续，则它在 上必定是有界且一致连续的。
连续性是关于函数 光滑性 （ smoothness ）的最弱的概念，另外还有Lipschitz条件、可微、有界变差等概念。
我们来看 Lipschitz条件 （ Lipschitz condition ）：对于某个 ， ，若 ，使得 ，其中 满足当 时 ，则称函数 在点 处满足Lipschitz条件。若固定 ， 上面的条件都成立，则称 满足 一致Lipschitz条件 （ uniform Lipschitz condition ）。
可微 （ diffrentiable ）也是一种光滑性的概念。
当定义域是区间时，另一个光滑性的概念是 有界变差 （ bounded variation ）。若 ，使得，对于区间 ，任意一种用有限个点 产生的划分，满足 ，则称函数 是有界变差的。
定理 ： 是有界变差的，当且仅当存在非递减函数 和 使得 。
另外，在 上由 满足一致Lipschitz条件的函数，在 上是有界变差的。
以上几节的结论，一般都可推广到 空间上。
定理 ：现有 ，其中 ， ，当且仅当 是连续的时，有：若 在 上是开的则 在 上是开的，若 在 上是闭的则 在 上是闭的。
取函数 ，其中 ， 可以是任意集合（不一定是 的子集），则 就是函数的序列。
若存在一个 ， ， ， ，使得当 时必有 ，则称 在 上逐点收敛于 （converge to , pointwise on ）。
同理，我们可以定义函数序列的 一致收敛 （ uniform convergence ）：若存在一个 ，使得 ，都 使得当 时有 ，则称 在 上一致收敛于 （converge to uniformly on ）。
对于实数序列 ，它的项的和称为 级数 （ series ），写为 （或 ）。序列 称为级数的 部分和 （ partial sums ）。对于一个级数来说，若部分和收敛于有限的极限，则称该级数收敛。另外，若单调序列 收敛，则称对应的级数 绝对收敛 （ converge absolutely ）。
比如 几何级数 （ geometric series ） ，若 则它收敛于 ，且它也是绝对收敛的，若 则它在两个聚集点 和 之间摇摆，若 取其他值则它发散。
定理 ：若级数绝对收敛，则它必收敛。
对应的一个术语叫 summability ，有时翻译成可求和性，但它是对应于数列的。若级数 收敛则称 是summable，若 是summable则称 是absolutely summable。Summable序列必定收敛于 ，反之不然，除非尾部和（ tail sums ）收敛于 ，这是个充要条件，见下面定理。
定理 ： 是summable，当且仅当 时有 。
还有一个比普通的收敛更弱的概念：若 收敛，则称 是 Cesaro-summable 的。
定理 ：若 收敛于 ，则它的Cesaro和（Cesaro sum）也收敛于 。
注意，不收敛的序列也可能是Cesaro-summable的，比如序列 ，它不收敛，它的Cesaro和收敛于 ，它的部分和序列 的Cesaro和收敛于 。
记号 表示， ，使得 ， 。下面是有关收敛速率的定理。
定理 ： 为正的实数序列， ，则
事实上， 就意味着存在 和 ，使得 ，而 时
