Question

三角形ABC，点D是AC上的中点，E、F是BC上的三分点，求阴影部分所占的份数

Answer 1

如图，过F点作FT∥BD，则CT：DT=CF：FB=1：2，

分二步：⑴设CT=x，则DT=2x 推出：DA=3x

∵HD∥FT   ∴HF：HA=2x：3x=2：3      HF：AF=2：5

HF=2/5AF

设△ABC的面积为1平方单位 

则△ABF面积=2/3

∴△BHF面积=2/5△ABF面积=2/3×2/5△ABC=4/15△ABC

⑵在△ABF中，AH：HF=3：2，BE=EF

用同样方法，可求出AG：GE=3：1，GE=1/4AE

∴△BGE面积=1/4△ABE面积=1/4×1/3△ABC=1/12△ABC

从而：阴影面积：

=△BHF面积—△BGE面积=(4/15—1/12)ABC=11/60△面积

即：S阴影：S△ABC=11：60。

Answer 2

设BD分别与AE,AF交于G,H.
E、F是BC上的三分点,
所以S△AEF=(1/3)S△ABC,
点D是AC上的中点,
由梅涅劳斯定理，AG/GE*EB/BC*CD/DA=1,
所以AG/GE=3,AG/AE=3/4,
同理AH/HF*FB/BC*CD/DA=1,
所以AH/HF=3/2,AH/AF=3/5,
所以S△AGH/S△AEF=AG/AE*AH/AF=9/20,
所以S阴影/S△AEF=11/20,
所以S阴影/S△ABC=11/60.
可以吗？