一道级数审敛问题? 为什么条件收敛的级数+绝对审敛级数等于条件收敛?
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这个,你可以用反证法,
设∑a（n）条件收敛,∑b（n）绝对收敛,
假定∑（a（n）＋b（n））不是条件收敛,那么它就是绝对收敛,
然而由于
｜a（n）｜＝｜a（n）＋b（n）－b（n）｜
≤｜a（n）＋b（n）｜＋｜－b（n）｜
＝｜a（n）＋b（n）｜＋｜b（n）｜
于是有∑｜a（n）｜≤∑｜a（n）＋b（n）｜＋∑｜b（n）｜＜∞,
即∑a（n）绝对收敛,与题设矛盾.
设∑a（n）条件收敛,∑b（n）绝对收敛,
假定∑（a（n）＋b（n））不是条件收敛,那么它就是绝对收敛,
然而由于
｜a（n）｜＝｜a（n）＋b（n）－b（n）｜
≤｜a（n）＋b（n）｜＋｜－b（n）｜
＝｜a（n）＋b（n）｜＋｜b（n）｜
于是有∑｜a（n）｜≤∑｜a（n）＋b（n）｜＋∑｜b（n）｜＜∞,
即∑a（n）绝对收敛,与题设矛盾.
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