Question

一元三次方程的求根公式是什么？

Answer 1

一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。
一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。归纳出来的形如
x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。方法如下：
（1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到
（2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))
（3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为
x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得
（4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知
（5）－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得
（6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3
（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即
（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a
(9)对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a
(10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为
y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
可化为
(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
将(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得
(12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
(13)将A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得
(14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)
式
(14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了

Answer 2

一元三次方程是指具有以下形式的方程：
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
其中，a、b、c和d是已知的实数，且a ≠ 0。
要解这个一元三次方程，我们可以使用数学公式来求根，该公式称为卡丹公式（Cardano's Formula）。
首先，我们将方程转化为一个紧凑的形式，通过除以a来消去方程中的系数。方程变为：
x^3 + px^2 + qx + r = 0
其中，p = b/a，q = c/a，r = d/a。
然后，我们用一个新的变量y来替换x，通过关系式x = y - (p/3)。这样，方程变成了：
(y - (p/3))^3 + p(y - (p/3))^2 + q(y - (p/3)) + r = 0
化简后得到：
y^3 + (3p/3)y^2 + (3p^2/9 - 2p^3/27 + q/3)y + (2p^3/27 - pq/3 + r) = 0
为了简化计算，我们引入一个新的常数：
m = (3p^2 - 9q)/27
n = (2p^3 - 9pq + 27r)/27
方程进一步简化为：
y^3 + my + n = 0
现在，我们需要求解这个新方程。求解过程如下：
1. 首先，计算一个新的常量d = (n^2/4) + (m^3/27)。如果d > 0，则方程有一个实根和两个共轭复根。如果d = 0，则方程有三个实根，其中两个相等。如果d < 0，则方程有三个不相等的实根。
2. 如果d > 0，则令q = ((n/2) + sqrt(d))^(1/3)和r = ((n/2) - sqrt(d))^(1/3)。
3. 计算方程的三个根：
y1 = q + r - (p/3)
y2 = -(q + r)/2 - (p/3) + (i*sqrt(3)/2)(q - r)
y3 = -(q + r)/2 - (p/3) - (i*sqrt(3)/2)(q - r)
其中，i是虚数单位，sqrt表示求平方根。
4. 最后，通过计算x = y - (p/3)，我们可以得到方程的三个实根。
这就是一元三次方程的求根公式。下面，我将举一个例子来说明：
例子：解方程x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0
将方程转化为紧凑形式，得到：
x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0
p = -3，q = 3，r = -1。
根据上述计算过程，我们得到：
m = (3p^2 - 9q)/27 = (3*(-3)^2 - 9*3)/27 = 0
n = (2p^3 - 9pq + 27r)/27 = (2*(-3)^3 - 9*(-3)*3 + 27*(-1))/27 = 0
因为d = (n^2/4) + (m^3/27) = 0，所以方程有三个实根，其中两个相等。
令q = ((n/2) + sqrt(d))^(1/3) = 0
r = ((n/2) - sqrt(d))^(1/3) = 0
根据公式，我们计算得到方程的三个根：
y1 = q + r - (p/3) = 0
y2 = -(q + r)/2 - (p/3) + (i*sqrt(3)/2)(q - r) = -(i*sqrt(3)/2)(q - r) = 0
y3 = -(q + r)/2 - (p/3) - (i*sqrt(3)/2)(q - r) = -(i*sqrt(3)/2)(q - r) = 0
最后，我们得到方程的三个实根：
x1 = y1 - (p/3) = -1
x2 = y2 - (p/3) = -1
x3 = y3 - (p/3) = -1
因此，方程x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0的三个根都是-1。