Question

三角形内心向量公式推导是什么？

Answer 1

三角形重心向量公式：x=（x1+x2+x3）/3，y=（y1+y2+y3）/3。推导如下：

OB=OA+AB,OC=OA+AC,代入aOA+bOB+cOC=0中得到：

AO=(bAB+cAC)/(a+b+c)。

而|AC|=b,|AB|=c。

所以AO=bc/(a+b+c) * (AB/|AB|+AC/|AC|)。

而由平行四边形法则值(AB/|AB|+AC/|AC|)与BAC交角平分线共线。

所以AO经过内心。

同理BO,CO也经过内心,所以O为内心。

反之亦然。

设ABC的坐标为：A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3) BC=a,CA=b,AB=c。

内心为O(x,y)则有aOA+bOB+cOC=0（三个向量）。

MA=(x1-x,y1-y)。

MB=(x2-x,y2-y)。

MC=(x3-x,y3-y)。

则：a(x1-x)+b(x2-x)+c(x3-x)=0,a(y1-y)+b(y2-y)+c(y3-y)=0。

∴x=(ax1+bx2+cx3)/(a+b+c),Y=(ay1+by2+cy3)/(a+b+c)。

∴O((ax1+bx2+cx3)/(a+b+c),(ay1+by2+cy3)/(a+b+c))。