Question

高一数学~

设等比数列{an}的前n项和Sn，首项a1,公比q=f(λ)=λ/1+λ （λ≠-1，0）
若数列{bn}满足b1=1/2,bn=f(bn-1)(n∈N*,n>2),求数列{bn}的通项公式
若λ=1，记Cn=an[(1/bn)-1],数列｛Cn｝的前n项和为Tn，求证当n≥2时,2≤Tn<4
问题补充：首项a1=1
我要知道记Cn=an[(1/bn)-1],数列｛Cn｝的前n项和为Tn，求证当n≥2时,2≤Tn<4
怎么证明啊，大哥~

Answer 1

（1）
由题可知bn=bn-1/1+bn-1
将两边同时取倒数可得：1/bn=1+bn-1/bn-1=1+1/bn-1
所以{1/bn}为等差数列，且公差为1
首项1/b1=1/1/2=2 1/bn=n+1
bn=1/n+1
(2)
Cn=(1/2)^n-1[n+1-1]=(1/2)^n-1*n
Tn=1*(1/2)^0+2*(1/2)^1+3*(1/2)^2+……+n*(1/2)^n-1
1/2*Tn= 1*(1/2)^1+2*(1/2)^2+…+（n-1)*(1/2)^n-1+n*(1/2)^n
1/2*Tn=1*(1/2)^0+(1/2)^1+(1/2)^2+……+(1/2)^n-1-n*(1/2)^n
=1+1/2*[1-(1/2)^n-1]/(1-1/2)-n*(1/2)^n
=1+1-(1/2)^n-1-n*(1/2)^n
=2+(1+1/2*n)*(1/2)^n-1
Tn=4-(2+n)*（1/2）^n-1

因为2+n为增函数，（1/2）^n为减函数，故（2+n）*(1/2)^n为减函数
当n≥2时，其最大值为2，此时Tn最小值为2
因为(2+n)*(1/2)^n-1大于0，所以Tn＜4
综上所述，2≤Tn＜4

Answer 2

自己做呀

Answer 3