Question

对称矩阵的特征值和特征向量有什么关系？

Answer 1

1、它们的秩相同；

2、两个矩阵可以相互通过初等变换得到；

3、A和B为同型矩阵；

4、矩阵A和B等价，那么B和A也等价(等价性）；

5、矩阵A和B等价，矩阵B和C等价,那么A和C等价（传递性）；

6、矩阵A和B等价，那么IAI=KIBI。(K为非零常数)；

7、具有行等价关系的矩阵所对应的线性方程组有相同的解。

n×n的方块矩阵A的一个特征值和对应特征向量是满足

的标量以及非零向量 。其中v为特征向量，

为特征值。

A的所有特征值的全体，叫做A的谱 [15] ，记为

。矩阵的特征值和特征向量可以揭示线性变换的深层特性。

扩展资料：

在线性代数中，对称矩阵是一个方形矩阵，其转置矩阵和自身相等 。即

例如：

矩阵分解是将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积 ，矩阵的分解法一般有三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解等。

假设M是一个m×n阶矩阵，其中的元素全部属于域K，也就是实数域或复数域。如此则存在一个分解使得

其中U是m×m阶酉矩阵；Σ是m×n阶实数对角矩阵；而V*，即V的共轭转置，是n×n阶酉矩阵。这样的分解就称作M的奇异值分解 。

Σ对角线上的元素Σi,i即为M的奇异值。常见的做法是将奇异值由大而小排列。如此Σ便能由M唯一确定了。