Question

高数题目求解（曲面积分）

请问为什么我用图2的解法解出来答案不对？

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Answer 1

用球坐标。
x=Rcosα，y=Rcosβ，z=Rcosγ
cos²α十cos²β十cos²γ=1
垂直于z轴，用平面将球面切成很多环带，每个环带是一个dS
dS=2πRsinγ×Rdγ=2πR²sinγdγ
被积函数分母:
√[x²十y²十(z-h)²]
=√(x²十y²十z²-2zh十h²)
=√(R²-2Rhcosγ十h²)
代入
原积分
=∫(0,π)2πR²sinγdγ/√(R²十h²-2Rhcosγ)
设t=cosy，dt=-sinγdγ
=2πR²∫(-1,1)dt/√(R²十h²-2Rht)
=2πR²[√(R²十h²-2Rht)]×2÷(-2Rh)|(-1,1)
=2πR/h[√(R²十h²-2Rht)](1,-1)
=2πR/h[(R十h)-|R-h|]
R≥h时
积分=4πR
R≤h时
积分=4πR²/h

追问

谢谢你的解答。请问为什么我的解法解出来答案不对？（已更新提问，图2为我的解法。）

追答

如果用dydz积分，应该是
dS=√(dx²/dz²十1十dx²/dy²)dydz