Question

设f(x)在区间[0,1]上具有一阶连续的导函数，且f(1)-f(0)=1,试证∫（0-1）[f'(x)]^2dx≥1？

Answer 1

简单计算一下，答案如图所示

Answer 2

【证明】
因为：
[∫ₐᵇf(x)·g(x)dx]²≤∫ₐᵇf²(x)dx∫ₐᵇg²(x)dx
将其应用于f′(x)与常函数1，则有：
[∫₀¹f′(x)·1dx]²≤∫₀¹[f′(x)]²dx∫₀¹1²dx
从而有：
∫₀¹[f′(x)]²dx=∫₀¹[f′(x)]²dx∫₀¹1²dx
≥[∫₀¹f′(x)·1dx]²＝[f(1)−f(0)]²＝1