Question

设函数f（x）=x^3+ax^2+bx在点x=1处有极值-2

设函数f（x）=x^3+ax^2+bx在点x=1处有极值-2
①求常数a，b的值
②求曲线y=f（x）与x轴所围成图形的面积

Answer 1

1.f′(x)=3x^2+2ax+b
因为在1有极值-2，所以f′(1)=0,f(1)=2
即2a+b+3=0,1+a+b=-2
解出a=0，b=-3
2.y=f（x）=x*3-3x
与x轴交点为-√3,0，√3
因为为奇函数，所以在负半轴和正半轴围的面积相等
因此S=2∫f(x) (从-√3积到0）
=2[（x^4/4-3x^2/2)| x=0 -（x^4/4-3x^2/2)| x=-√3]
=9/2
希望能帮助到你

Answer 2

1.f′(x)=3x^2+2ax+b
因为在1有极值-2，所以f′(1)=0,f(1)=2
即2a+b+3=0,1+a+b=-2
解出a=0，b=-3
2.y=f（x）=x*3-3x
与x轴交点为-√3,0，√3
因为为奇函数，所以在负半轴和正半轴围的面积相等
因此S=2∫f(x) (从-√3积到0）
=2[（x^4/4-3x^2/2)| x=0 -（x^4/4-3x^2/2)| x=-√3]
=9/2
补充：若该题不这么特殊即不是奇函数，则画出草图，然后分布积分

Answer 3

由于f(x)在点x=1处有极值-2，所以可以得到式子1：f(1)=1+a+b=-2，利用导函数有f(x)'=3x^2+2ax+b，极值处f(x)'=0，所以有式子2：f(1)'=3+2a+b=0，连立式1和式2，可解得a=0,b=-3。
所以原式为f(x)=x^3-3x。经计算可知其与X轴的交点为（0，0），（±根号3，0），根据原式可知其是一个中心对称图形，所以只用求一半的面积。
利用微积分求面积。
很久没有算过了，不知道正确否，我计算出的面积为12倍根号3。

Answer 4

由f(x)表达式可得f'(x)
=
3x^2+2ax+b，f''(x)=6x+2a
由f(x)在x=1处有极值10可知，f(1)=1+a+b+a^2=10,
即a+b+a^2=9...①
且f'(1)=3+2a+b=0...②
将①②联立，解得a=-3,b=3或a=4,b=-11
当a=-3,b=3时，f''(1)=0，(1,10)不是极值点，不合题意，舍去
当a=4,b=-11时，f''(1)=14>0,(1,10)是极小值点，符合题意
将a=4,b=-11代入f(x),
可知f(2)=18