Question

求极限 lim [(3+x)/(6+x)]^[(x-1)/2]= x→∞

Answer 1

极限为1/e^(3/2)。

为了简便，设1/t=-3/(x+6),则x=-3t-6

lim（x→∞）[(3+x)/(6+x)]^[(x-1)/2]

=lim[1-3/(x+6)]^[(x-1)/2]

=lim(1+1/t)^[(-3t-7)/2]

=lim1/[(1+1/t)^t)^(3/2)]*(1+1/t)^(-7/2)

=1/e^(3/2)

扩展资料：

求极限基本方法有:

1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入；

2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化，然后运用(1)中的方法；

3、运用两个特别极限；

4、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。它不是所向无敌，不可以代替其他所有方法，一楼言过其实。

5、用Mclaurin(麦克劳琳)级数展开，而国内普遍误译为Taylor(泰勒)展开。

6、等阶无穷小代换，这种方法在国内甚嚣尘上，国外比较冷静。因为一要死背，不是值得推广的教学法；二是经常会出错，要特别小心。

7、夹挤法。这不是普遍方法，因为不可能放大、缩小后的结果都一样。

8、特殊情况下，化为积分计算。

9、其他极为特殊而不能普遍使用的方法。

Answer 2

简单计算一下，答案如图所示

Answer 3

这样使用关于e的重要极限，

比较容易理解吧！

详情如图所示:

供参考，请笑纳。

Answer 4

(3+x)/(6+x)= 1 -3/(6+x）
let
3/(6+x) =1/y
3y=6+x
x=3y-6
lim(x->无穷) [(3+x)/(6+x)]^[(x-1)/2]
=lim(x->无穷) [1-3/(6+x)]^[(x-1)/2]

=lim(y->无穷) [1-1/y]^[(3y-6-1)/2]
=lim(y->无穷) [1-1/y]^[(3y-7)/2]
=lim(y->无穷) [1-1/y]^(3y/2)
=e^(-3/2)

Answer 5

lim[(3+x)/(6+x)]^[(x-1)/2]
x→∞

=lim[1-3/(x+6)]^[(x-1)/2]
x→∞

=lim[1-3/(x+6)]^{[(x+6)/3]3(x-1)/[2(x+6)]}
x→∞

=lime^{3(1-1/x)/[2(1+6/x)]}
x→∞

=e^(3/2)