Question

伯努利微分方程详细资料大全

Answer 1

形如y'+P（x）y=Q(x)y^n的微分方程，称为伯努利微分方程，其中n≠0并且n≠1，其中P（x），Q（x）为已知函式，因为当n=0，1时该方程是线性微分方程。它以雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）命名，他在1695年进行了研究。伯努利方程是特殊的，因为它们是具有已知精确解的非线性微分方程。 伯努利方程的著名特殊情况是逻辑微分方程。

基本介绍

• 中文名 ：伯努利微分方程
• 外文名 ：Bernoulli differential equation
• 领域 ：数学
• 提出者 ：雅各布·伯努利
• 性质 ：具有已知精确解的非线性微分方程
• 公式形式 ：y'+P（x）y=Q(x)y^n

简介,转换为线性微分方程,求解,

简介

形如y'+P（x）y=Q(x)y^n的微分方程，称为伯努利微分方程，其中n≠0并且n≠1，其中P（x），Q（x）为已知函式，因为当n=0，1时该方程是线性微分方程。它以雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）命名，他在1695年进行了研究。伯努利方程是特殊的，因为它们是具有已知精确解的非线性微分方程。 伯努利方程的著名特殊情况是逻辑微分方程。

转换为线性微分方程

伯努利微分方程可以把变数替换成为线性微分方程，将伯努利微分方程两端除以 ，得 作变数替换 ，则 。代入上式，有： 这是以z为未知函式的一阶线性微分方程，由此方程解出z，再由 可得伯努利微分方程的解。 注意，对于n=0和n = 1，伯努利方程是线性的。 对于n≠0和n≠1，替换 将任何伯努利方程调整到线性微分方程。 例如： 让我们考虑以下微分方程： 以伯努利形式（用n = 2））重写它： 现在，用 我们得到： ，它是一个线性微分方程。

求解

作为线性微分方程的解： 那么我们有 是下面方程的解 对于每个这样的微分方程，都有 >0，我们有y恒等于0。