Question

高一数学 不等式的证明

要写具体步骤！！

1、证明x³+y³≥x²y+y²x

2、已知a,b不等的正数，且a³-b³=a²-b²

求证：1＜a+b＜4/3

Answer 1

1)x³+y³-(x²y+y²x)=x^2(x-y)+y^2(y-x)=(x-y)(x^2-y^2)=(x+y)(x-y)^2
原式在xy为正数时成立，你把条件漏了。。

2)a³-b³=a²-b² =>a^2+ab+b^2=a+b =>(a+b)^2-ab=a+b
=>(a+b)^2-(a+b)=ab>0 =>a+b>1
同时(a+b)^2-(a+b)=ab<[(a+b)/2]^2 =>3(a+b)^2/4-(a+b)<0 =>a+b<4/3

综上1＜a+b＜4/3

Answer 2

1<a<b<8,a^8+b^8-a-b=a(a-8)+b(b-8)<1,所以a^8+b^8<a+b 8ab/8根号ab=根号ab<8,所以8根号>8ab

Answer 3

1.证明:
x³+y³-x²y+y²x
=x^2(x-y)+y^2(y-x)
=(x^2-y^2)*(x-y)
=(x+y)(x-y)^2>0
∴x³+y³≥x²y+y²x
2.证明：
a³-b³=a²-b²
a^2+b^2+ab=a+b
(a+b)^2-ab-(a+b)=0
0＜ab=(a+b)^2-(a+b)＜(a+b)^2/4
3/4(a+b)^2-(a+b）＜0
0＜(a+b)＜4/3
0<(a+b)^2-(a+b)
(a+b)>1
综上1＜a+b＜4/3

Answer 4

1、(x-y)^2≥0,即x^2-2xy+y^2≥0,所以x^2-xy+y^2≥xy,
x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)≥(x+y)xy=x^2y+xy^2

2、a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^2-b^2=(a+b)(a-b),因为a不等于b，
所以a^2+ab+b^2=a+b，即(a+b)^2-(a+b)=ab,即(a+b)(a+b-1)=ab，因为a、b为正数，所以ab〉0，即(a+b)(a+b-1)〉0，因为a+b〉0，所以a+b-1〉0，即a+b〉1；
(a-b)^2>0，即a^2-2ab+b^2>0，即a^2+2ab+b^2>4ab，即(a+b)^2>4ab,所以ab<[(a+b)^2]/4,即(a+b)^2-(a+b)<[(a+b)^2]/4,两边同时除以a+b，即(a+b)-1<(a+b)/4,即(3/4)(a+b)<1,即a+b<4/3
所以1<a+b<4/3