Question

求一个例子：一个函数连续,且可偏导,但是不可微？

Answer 1

f﹙x,y﹚＝xy／﹙x²＋y²﹚ ﹙x,y﹚≠﹙0,0﹚时
＝0 ﹙x,y﹚＝﹙0,0﹚时
连续,偏导存在,dz在（0,0）点不存在,4,
梦见雨烟 举报
这个原函数好像不连续吧，取x=y时当x趋近0为1/2
举报 wlawzj
恩，是我错了， 那这个呢？ z＝﹙x＋y﹚^﹙1／3﹚ 这个连续，偏导存在，（0.0）全微分不存在
梦见雨烟 举报
这个在（0,0）处可有偏导？好像没有偏导哦，因此它是不可微的，是吧 被你这么一说好像又错了，我都糊了。但下面这个绝对没错，我刚翻书了，是书上的例子 f﹙x,y﹚ ＝xy／√﹙x²＋y²﹚ x²＋y²≠0时 ＝0 x²＋y²＝0时 连续 偏导存在fx﹙0,0﹚=fy﹙0,0﹚=0 Δz－[fx﹙0,0﹚·Δx＋fy﹙0,0﹚·Δy]＝Δx·Δy／√[﹙Δx﹚²＋﹙Δy﹚²] 但当﹙Δx，Δy﹚沿直线y=x趋于﹙0.0﹚时 ﹛Δx·Δy／√[﹙Δx﹚²＋﹙Δy﹚²]﹜／ρ=Δx·Δy／[﹙Δx﹚²＋﹙Δy﹚²]=1/2 他不能随ρ趋于0而趋于0，这表示ρ趋于0时，Δz－[fx﹙0,0﹚·Δx＋fy﹙0,0﹚·Δy]并不是ρ的高阶无穷小，所以（0,0）点全微分不存在,f(x,y)=(xy)/√(x^2+y^2) (x,y)!=(0,0)
=0 (x,y)=(0,0),0,