Question

万有引力的公式是如何推导的?

Answer 1

万有引力定律的提出主要建立在开普勒三定律的基础之上,此外还吸取了前人的其他结果,比如伽利略铁球同时落地的结果.从铁球同时落地,我们知道初始运动状态相同的不同质量的东西在重力作用下运动状态相同,也就是加速度也时刻相同,结合牛顿第二定律F=ma可知,重力是一个正比于物体质量的力.牛顿由苹果落地得到重力就是万有引力的一种体现,是一个很重要的结论：假设两个物体质量M和m,由前面的结论,知道,对第二个物体,引力F正比于m；同样对第一个物体,F'应该正比于M,而牛顿第三定律告诉我们,F和F‘大小相同,因此万有引力应该正比于Mm.卡普勒第二定律表明行星运动是角动量守恒的,因为受到的是一个有心力(只与距离r的大小有关),进一步表明万有引力的方向由一个质点指向另一个质点的,这也与牛顿第三定律以及人们的直觉相吻合.而开普勒第三定律(行星运动周期与长轴的关系)表明,万有引力与距离r平方成反比(用一个圆轨道特例计算,假设写作万有引力可以用距离r的幂次展开即可得到这个幂次只能是-2).综上,牛顿总结出,万有引力F正比于Mm/r^2,比例系数可以定义为引力常数,即F=GMm/r^2