Question

已知向量a与向量a+b的夹角为30°,且且|a|=根号3,|b|=1,则a与b的夹角为

Answer 1

设向量a与向量b的夹角为θ，所以|a + b| 2 = (a + b)·(a + b) = a 2 + 2a·b + b 2 = |a| 2 + 2|a|*|b|cosθ + |b| 2 = 3 + 2√3cosθ + 1 = 4 + 2√3cosθ，所以|a + b| = √(4 + 2√3cosθ)，由已知向量a与向量a + b的夹角为30°，所以向量a·(a + b) = a·a + a·b = |a| 2 + |a|*|b|cosθ = |a|*|a + b |*cos30°，所以3 + √3cosθ = √3*√(4 + 2√3cosθ)*√3/2，所以2(3 + √3cosθ) = 3√(4 + 2√3cosθ)，平方可得4(9 + 6√3cosθ + 3cos 2 θ) = 9(4 + 2√3cosθ)，所以24√3cosθ + 12cos 2 θ = 18√3cosθ，所以12cos 2 θ + 6√3cosθ = 0，所以2cos 2 θ + √3cosθ = 0，所以(cosθ)(2cosθ + √3) = 0，所以(cosθ) = 0或者(2cosθ + √3) = 0，所以cosθ = 0或者cosθ = -√3/2，所以θ = π/2 或者 5 π/6 。