Question

复变函数实函数和虚函数的区别

Answer 1

定义上的区别：复变函数是从一个复数映射到一个复数，即从一个复平面的一个点映射到复平面的另外一个点，二元实函数是平面上一个点映射到实数轴上。而且复变函数的实部虚部都可能是二元实函数。所以无法把复变函数中的自变量（复数）的实部虚部分开看成一个二元函数。

2、极限与连续性的区别：复变函数的连续性是实部虚部从各个方向都趋向于一个复数的实部虚部，二元实函数从各个方向都趋向于一个实数。复变函数在G点连续充要条件：复变函数的实部虚部两个二元函数都在G点连续。

3、可微上的区别：（1）复变函数的导数是一个复数，二元实函数的导数是一个实数。复变函数没有偏导数概念，实部虚部是二元函数有偏导数概念。二元实函数有偏导数概念，没有导数概念，但有可微的概念。（2）二元函数偏导数存在不一定可微，如果偏导数连续则二元实函数是可微的，复变函数可微的必要条件：实部虚部的偏导数存在且满足柯西-黎曼条件；（3）复变函数可微的充要条件是实部虚部的二元函数在该点可微且偏导数满足柯西-黎曼条件；（4）复变函数可微的充分条件：实部虚部的二元函数的偏导数在该点连续且满足柯西-黎曼条件。（5）注意：复变函数的实部虚部的偏导数存在，复变函数的导数不一定存在；复变函数在G点导数存在与在G点可微是等价的；复变函数导数存在或者可微则复变函数在该点G一定连续；复变函数的实部虚部的二元函数在G点可微或者偏导数连续，复变函数也未必可微。从这里看出复变函数可微或导数存在就要求实部虚部不是相互独立的。

4、复变函数可微与解析的区别：复变函数的可微是针对某一点G而言，G点的领域内可能只有G点可微；复变函数的解析是针对区域而言，包含G的某个区域内的所有点都是可微的。