Question

一道高一函数题！

已知函数f(x)=|x|(x-a),a为实数
1.讨论f(x)在R上的奇偶性
2.当a<=0时，求f(x)的单调区间
3.在第2题的条件下，求f(x)在闭区间[-1,1/2]上的最大值！
高手请进，重点求第三问！

Answer 1

(1)f(-x)=|x|(-x-a),当a=0时，f(-x)=-f(x),为奇函数,a!=0时，非奇非偶

(2)x>0, f(x)=x^2-ax, 因为a<=0, 对称轴x=a/2<0, 单调递增
x<0, f(x)=-x^2+ax, 对称轴x=a/2, 开口向下， 当x<a/2时递增
当a/2<x<0时递减
（3）当a<-2 时，由于在（a/2,0)递减在(0,正无穷)递增 所以f(-1)与f（1/2）中有个最大值， f（-1）=-1-a， f（1/2）=1/4-0.5a
F（-1）-f（1/2）=-5/4-0.5a 当 a<-2.5, f(-1)>f（1/2), 最大值-1-a
当 -2.5<a<-2 ,最大值1/4-0.5a

当-2<a<0, 最大值取自f（a）和f（1/2）
f（a）=0， f（1/2）=1/4-0.5a>0>f(a),最大值1/4-0.5a

终上所述， 当 -2.5<a<0时，最大值1/4-0.5a
当a<-2.5时， 最大值-1-a

Answer 2

1、a=0，奇函数；a不为0，非奇非偶
2、a=0, f(x)在R上单增；
a<0,f(x)在（-无穷，a/2）单增，（a/2,0）单减，（0，+无穷）单增
3、在2的条件下，-5/2<a<0,最大值f(1/2)
a<=-5/2,最大值f(-1)