Question

求证：f(x)=x. cosx不是周期函数。

Answer 1

设f(x)的最小正周期为t, 则f(x+t)=f(x);即(x+t)cos(x+t)=xcosx; 显然对于任意的x该等式恒成立,故取x=-π/2,0; 得到(-π/2+t)cos(-π/2+t)=0;tcost=0; 满足这两个方程的只有t=π/2;(t=0不是正数,舍去) 所以f(x)的周期只可能是π/2， 但显然f(π/3),f((5/6)*π)是不相等的。矛盾 所以f(x)=xcosx不是周期函数