Question

高数高斯公式

Answer 1

高数高斯公式是∮F·dS=∫(▽·F)dV。

根据《高等数学》第七版同济大学下册书中第十一章，曲线积分与曲面积分第六节高斯公式，通量与散度中的定义：

设空间闭区域Ω \OmegaΩ是由分片光滑的闭曲面∑ \sum∑所围成，若函数P ( x , y , z ) P\left(x, y, z\right)P(x,y,z)，Q ( x , y , z ) Q\left(x, y, z\right)Q(x,y,z)，R ( x , y , z ) R\left(x, y, z\right)R(x,y,z)在Ω \OmegaΩ上具有一阶连续偏导数，则有∭Ω(∂x∂P+∂y∂Q+∂z∂R)=∮∑Pdydz+Qdxdz+Rdxdy。

该公式的数学证明过程很复杂，这里不做过多说明，而且这个公式看起来也十分复杂，如何去形象的理解它就成了比较重要的事情。我们可以看到这个公式的左侧是一个体积积分，右侧是一个面积积分，也就是说，高斯公式实际上是将体积积分与面积积分联系起来的一个公式。下面我们来赋予式中各项相应的物理意义。尝试从流体力学的角度来理解这一公式。

我们假设曲面∑ \sum∑包裹着一部分流体。

P PP：沿着yz平面的闭曲面内的包裹流体的流速。

Q QQ：沿着xz平面的闭曲面内的包裹流体的流速。

R RR：沿着xy平面的闭曲面内的包裹流体的流速。

如果考虑上单位时间，那么等式( 1 ) \left(1\right)(1)的右侧我们可以理解为，是闭曲面∑ \sum∑所围成的整个立体封闭式体积空间内向外的流量。