已知实数a,b满足a加2分之b小于等于ab,求ab的最小值
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a+b/2≤ab,
b/2≤a(b-1),①
b=1时①变为1/2≤0,不成立;
b>1时a≥b/[2(b-1)],
ab≥b^2/[2(b-1)]=(1/2)[b-1+1/(b-1)+2]≥(1/2)(2+2)=2,
当b=2,a=1时取等号。
b<1时a≤b/[2(b-1)],分3种情况:设u=ab,t=b-1,
1)0<b<1,u≤b^2/[2(b-1)]=(t+1)^2/(2t)=(1/2)(t+1/t)+1,-1<t<0,
t-->0-时1/t-->-∞,u无最小值.
所以ab无最小值。不必考虑剩下的两种情况。
b/2≤a(b-1),①
b=1时①变为1/2≤0,不成立;
b>1时a≥b/[2(b-1)],
ab≥b^2/[2(b-1)]=(1/2)[b-1+1/(b-1)+2]≥(1/2)(2+2)=2,
当b=2,a=1时取等号。
b<1时a≤b/[2(b-1)],分3种情况:设u=ab,t=b-1,
1)0<b<1,u≤b^2/[2(b-1)]=(t+1)^2/(2t)=(1/2)(t+1/t)+1,-1<t<0,
t-->0-时1/t-->-∞,u无最小值.
所以ab无最小值。不必考虑剩下的两种情况。
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