Question

怎么求曲线在某点处的曲率？

Answer 1

假设曲线为y=f(x)，曲率圆圆心(a,b)，半径为r；\x0d\x0a曲率圆的本质就是要求曲线与圆在这点的切线与凹陷度一样。\x0d\x0a首先得出曲桥则裤率圆方程为：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2；\x0d\x0a假设曲线在该点处凹，则b>y，得出y=b-(r^2-(x-a)^2)^(1/2)；\x0d\x0ay'=(-1/2)[(r^2-(x-a)^2)^(-1/2)]*(-2)(x-a)=(x-a)(r^2-(x-a)^2)^(-1/2)；——A式\x0d\x0ay''=(r^2-(x-a)^2)^(-1/2)+(x-a)*(-1/2)(r^2-(x-a)^2)^(-3/2)*(-2)(x-a)\x0d\x0a=(r^2-(x-a)^2)^(-1/2)+(x-a)^2(r^2-(x-a)^2)^(-3/2)——B式\x0d\x0a按理由A、B两式就可以消掉(x-a)，得出一个半径r的表达式由y'与y''表示；\x0d\x0a但盯雹是直接代入消元比较麻烦，可以如下这般代换：\x0d\x0a由A知道(r^2-(x-a)^2)^(-1/2)=y'/(x-a)代入B式有：\x0d\x0ay''=y’/(x-a)+(x-a)^2(y'/(x-a))^3=y'/(x-a)+y'^3/(x-a)=(y'+y'^3)/(x-a)\x0d\x0a=>(x-a)=(y'+y'^3)/y''此式再敏简回过头代入A式中有：\x0d\x0ay'=((y'+y'^3)/y'')(r^2-((y'+y'^3)/y'')^2)^(-1/2)\x0d\x0a=>r^2=((1+y'^2)/y'')^2+((y'+y'^3)/y'')^2\x0d\x0a=((1+y'^2)^3)/(y''^2)\x0d\x0a=>r=(1+y'^2)^(3/2)/y''\x0d\x0a曲率就是1/r；\x0d\x0a有了半径r、法线斜率(-1/y')，就很容易的求出曲率圆的圆心了，继而求出曲率圆的方程。