函数的不定积分怎么算?

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  • 例如计算不定积分∫x²3√1-xdx

  • 解:原式=3∫x²√1-x

    令√1-x=t

    x=1-t²

    dx=-2tdt

    原式=3∫(1-t²)²t(-2t)dt

    =3∫(-2t²+4t^4-2t^6)dt

    =-6∫t²dt+12∫t^4dt-6∫t^6dt

    =-2t^3+12/5t^5-6/7t^7+c

    =-2√(1-x)^3+12/5√(1-x)^5-6/7√(1-x)^7+c。

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  • 例如本题不定积分计算过程如下:

  • ∫(1-3x)^6dx

    =(-1/3)∫(1-3x)^6d(1-3x)

    =-1/3*(1-3x)^7*(1/7)+C

    =-1/21*(1-3x)^7+C。

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  • 不定积分概念

  • 设F(x)是函数f(x)的一个原函数,我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+ C(其中,C为任意常数)叫做函数f(x)的不定积分,又叫做函数f(x)的反导数,记作∫f(x)dx或者∫f(高等微积分中常省去dx),即∫f(x)dx=F(x)+C。

    其中∫叫做积分号,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式,C叫做积分常数或积分常量,求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分。

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  • 不定积分计算方法

  • 不定积分的主要计算方法有:凑分法、公式法、第一类换元法、第二类换元法、分部积分法和泰勒公式展开近似法等。

    需要注意的是不是所有函数都能积分出来,同时各种方法可以用其一也可以多种方法综合应用。

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生活小达人164I
高能答主

2022-08-27 · 世界很大,慢慢探索
知道小有建树答主
回答量:1438
采纳率:97%
帮助的人:34.1万
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答案:

1/(x^2-1)=1/(x+1)(x-1)。

=a/(x+1)+b/(x-1)。

=[(a+b)x+(b-a)]/(x+1)(x-1)。

所以a+b=0,b-a=1。

a=-1/2,b=1/2。

所以原式=-1/2∫1/(x+1)dx+1/2∫1/(x-1)dx。

=-1/2*ln|x+1|+1/2*ln|x-1|+C。

=1/2*ln|(x-1)/(x+1)|+C。

把函数f(x)的所有原函数F(x)+C(其中,C为任意常数)叫做函数f(x)的不定积分,又叫做函数f(x)的反导数,记作∫f(x)dx或者∫f(高等微积分中常省去dx),即∫f(x)dx=F(x)+C。

其中∫叫做积分号,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式,C叫做积分常数或积分常量,求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分。

由定义可知:

求函数f(x)的不定积分,就是要求出f(x)的所有的原函数,由原函数的性质可知,只要求出函数f(x)的一个原函数,再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。

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