Question

证明不等式 （1）当0

Answer 1

这两个不等式中,sinx、tanx、2x均在0点处连续可导,而tanx在π/2处没有意义,所以当x趋近于0时,假如令f(x)=sinx+tanx-2x,有f(x)趋近于f(0)
（1）求导,
f(x)=sinx+tanx-2x,有f'(x)=cosx+1/(cosx)^2-2=[(cosx)^3+1-2* (cosx)^2]/(cosx)^2,分母必大于0,所以,只讨论分子的情况,令g(x)=(cosx)^3+1-2* (cosx)^2
g'(x)=-3(cosx)^2*sinx+4cosx*sinx=3cosx*sinx*(-cosx+4/3) 必大于0,因为cosx,sinx值域为(0,1),
所以,g(x)为增函数,(0,π/2)间,由于在0点连续,最小值趋近为g(0)=1^3+1-2=0,所以,g(x)>=0,
所以f'(x)=g(x)/(cosx)^2 >=0,所以f(x)为增函数,最小值为f(x)=f(0)=sin0+tan0-2*0=0
所以,(0,π/2)间 f(x)>0,即sinx+tanx>2x
（2）证明sinx0,y(x)最小值为y(0)=0,所以在(0,π/2)间,r'(x)=y(x)>y(0)=0
所以r(x)为增函数,r(x)>r(0)=0