Question

求曲线e^y+xy-x^2=e^2上横坐标为x=0的点处的切线方程和法线方程？

Answer 1

x=0
代进去e^y+xy-x^2=e^2
就是有
e^y=e^2
于是
y=2
所以就是求曲线过点（0,2）处的切线方程和法线方程
要求直线,就是还差斜率就OK了
那么就对e^y+xy-x^2=e^2等式两边求导
于是就得
y'e^y+【xy】'-2x=0
y'e^y+【1×y+xy'】-2x=0
把x=0,y=2代进去就是
y'e²+【2+0】-0=0
解得y'=-2/e²
于是就是曲线切线斜率
k=y'=-2/e²
根据点斜式就知道
切线方程就是
y-2=-2/e²（x-0)
化简两番就得
2x+e²y-2e²=0
还有法线和切线垂直
于是两斜率相乘为-1
于是法线斜率k'=-1/(-2/e²）=e²/2
于是法线就是
y-2=e²/2(x-0)
化简就是
e²x-2y+4=0,3,x=0时，代入方程得：e^y=e^2, 得;y=2
即点为(0, 2)
两边对x求导得：e^y*y'+y+xy'-2x=0
得：y'=(2x-y)/(e^y+x)
y'(0)=-2/e^2
所以切线为: y=-2/e^2*x+2
法线为： y=e^2/2*x+2,2,