Question

抛物线准线上的点作抛物线的两条切线,切点连线和坐标轴的交点是焦点吗

Answer 1

证明：不妨设抛物线是x^2=4py(p>0),准线是y=-p,焦点F(0,p)设M(t,-p)是准线上任意一点,过M作抛物线的两条切线MA、MB,A、B是切点。

因A、B在抛物线上，设A(2pm,pm^2),B(2pn,pn^2)(m≠n)由x^2=4py得y=x^2/(4p),y'=x/(2p)在A处切线斜率k=m,切线方程是mx-y-pm^2=0它过M(t,-p)得mt+p-pm^2=0即pm^2-tm-p=0(1)在B处切线斜率k=n,切线方程是nx-y-pn^2=0它过M(t,-p)得nt+p-pn^2=0即pn^2-tn-p=0(2)由(1)(2)得m,n是方程z^2-tz-p=0的两个根得m+n=t/p,且mn=-1(3)由A(2pm,pm^2),B(2pn,pn^2)(m≠n)可得直线AB的方程是(m+n)x-2y-2pmn=0将(3)代入得(t/p)x-2y+2p=0即tx-2p(y-p)=0该直线恒过F(0,p).得证。希望能帮到你！