零点存在性定理的内容
零点存在性定理
如果函数y = f (x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f (a)·f (b)<0那么,函数y = f (x)在区间[a,b]内有零点,即存在c∈(a,b),使得f (c) = 0这个c也就是方程f (x) = 0的根。
扩展资料
证明:不妨设 ,f(b)>0.令
E={x|f(x)≤0,x∈[a,b]}.
由f(a)<0知E≠Φ,且b为E的一个上界,于是根据确界存在原理,
存在ξ=supE∈[a,b].
下证f(ξ)=0(注意到f(a)≠0,f(b)≠0,故此时必有ξ∈(a,b).).事实上,
(i)若f(ξ)<0,则ξ∈[a,b).由函数连续的局部保号性知
存在δ>0,对x1∈(ξ,ξ+δ):f(x)<0→存在x1∈E:x1>supE,
存在δ>0,对x1∈(ξ-δ,ξ):f(x)>0→存在x1为E的一个上界,且x1<ξ,
这又与supE为E的最小上界矛盾。即推得f(ξ)=0。
定理的含义:
(1)函数在区间[a,b]上的图象连续不断,又它在区间[a,b]端点的函数值异号,则函数在[a,b]上一定存在零点
(2)函数值在区间[a,b]上连续且存在零点,则它在区间[a,b]端点的函数值可能异号也可能同号
(3)定理只能判定零点的存在性,不能判断零点的个数
2024-11-30 广告