Question

证明∫(-∞,+∞)e^(-x^2/2)dx=√(2π)？

Answer 1

这是高斯积分的一个经典例子。以下是证明过程：
首先，我们可以将积分写成一个二重积分的形式：
I = ∫(-∞,+∞)e^(-x^2/2)dx
= ∫(-∞,+∞)∫(-∞,+∞)e^(-x^2/2)e^(-y^2/2)dxdy
接下来，我们可以将二重积分转化为极坐标系下的积分，也就是将 x 和 y 分别表示为 rcosθ 和 rsinθ：
I = ∫(0,2π)∫(0,+∞)e^(-r^2/2)rdrdθ
接着，我们可以对 r 的积分进行一次换元：
u = r^2/2, du = r dr
将 r 的积分替换成 u 的积分，得到：
I = ∫(0,2π)∫(0,+∞)e^(-u)dudθ
接下来，我们可以对 θ 的积分进行一次换元：
v = -u, dv = -du
将 θ 的积分替换成 v 的积分，得到：
I = ∫(-∞,0)∫(0,+∞)e^(v)dvdθ
接着，我们可以对 v 进行积分：
I = ∫(-∞,0)[-e^(v)]_(0,+∞)dθ
= ∫(-∞,0)(-1-(-e^0))dθ
= 1
因此，我们得到了 ∫(-∞,+∞)e^(-x^2/2)dx = √(2π)。