抽象代数_浅谈抽象代数的应
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浅谈抽象代数的应用
1 引言
代数学作为数学的一个重要分支，有着悠久的历史。早期代数学的研究对象是具体的, 以方程根的计算为研究中心。那时人们已经能够用根式来求解四次以下的方程的根。此后几乎经历了三百年的时间，数学家们企图用用根式解一般的五次方程而没有成功。阿贝尔(N.H.Abel)在1824 年证明了高于四次的一般方程不能用根式求解。伽罗瓦(E.Galois)在1829-1831 年间完成的论文中, 基于其提出的群(置换群) 的概念, 建立了代数方程可用根式求解的充要条件。从而彻底解决了代数方程用根式求解这一近三百年的数学难题。伽罗瓦提出的“群”概念, 导致了代数学在研究对象、研究方法上的深刻变革, 一系列新的代数领域被建立起来。1930—1931年范·德·瓦尔登(B．L ．vander Waerden ，1903—) 的《近世代数学》一书问世，在数学界引起轰动，由此之后，抽象代数学或近世代数学成为代数学的主流。
一个集合及其上的代数运算构成一个代数结构(代数系统), 抽象代数的主要研究内容是研究各种代数结构, 它是在从较高层次上, 撇开形式上很不相似的代数结构的个性, 抽象出其共性, 用统一的方法描述、研究与推理, 从而得到一些反映事物本质的结论, 再把它们应用到具体的系统中去。由于代数结构中运算的个数以及对运算性质要求的不同, 从而产生了各种各样的代数结构, 这就形成了抽象代数的不同分支, 其中最基本、最重要的分支是群、环和域。
由于代数运算贯穿于任何数学理论与应用中, 以及代数运算和其中元素的一般性, 抽象代数的研究在数学里是基础性的, 其研究方法与结论已渗透到与之相近的数学学科中去。不仅如此, 抽象代数还为现代物理学、现代化学以及计算机科学、现代通信与密码学提供了语言, 其研究方法与重要结论在上述领域都有重要应用。抽象代数不仅是计算机科学中广泛使用的数学工具, 而且成为计算机科学的理论基础之一, 如自动机理论、形式语言、数据结构、密码学以及逻辑电路设计、编码理论等。
作为量子力学的奠基人之一，狄拉克曾经说过“现代物理学日益需要抽象数学及对其基础的探讨。因此，非欧几何与非交换代数曾被视为只是一种虚构的结果或只具有逻辑推理的魅力，而现在已被人们认识到，它们是描绘物理世界一般图画的不可缺少的工具。”本文首先介绍了一些抽象代数的基本概念，然后重点分析了它在数学及其他学科的应用，以掌握其核心的思维方法。 2 基本概念
简单来说，抽象代数涉及基本概念主要包括代数结构、群、环、域。下面我们就从这些概念的来源、定义和实例等几个方面来逐一介绍。
2.1 代数结构
代数结构是在一种或多种运算下封闭的一个或多个集合，它包含集合及符合某些公理的运算或关系。它主要研究集合上的抽象运算及运算的性质和结构。研究抽象代数的基本特征和基本结构，不仅能深化代数结构的理论研究，也能扩展其应用领域。
定义 设S 是一个非空集合, f1, f2, „, fn是S 上的n 个代数运算, 则S 与n 个运算所组成的结构称为代数结构(Algepaic Structure)或代数系统(Algepaic System), 记为。根据上述定义, 一个代数结构需满足如下两个条件：
1) 有一个非空集合S, 称为载体;
2) 一些定义在载体S 上的运算。
设S 为一非空集合, *为S 上满足结合律、交换律的二元运算, 那么为代数结构, 称为抽象代数结构, 即为一类具体代数结构的抽象, 例如, ,
等都是的具体例子。其中，N,Z 分别位自然数集合、整数集合，+，*为一般加与乘运算。
代数结构是多种多样的，如何辨认哪些代数结构在本质上是一样的，哪些代数结构在本质上是不同的？这样，对于本质相同的一类代数结构只需要研究其中一个就可以了解其它的代数结构。这就涉及到代数结构的判定问题，这里就不在具体叙述。
2.2 群
群是抽象代数中发展最早、内容最广泛、应用最充分的一部分，是建立其它代数结构的基础。 群论的研究起源于对置换群的研究，随后，发现大多数问题中，重要的不是构成群的置换本身，而应该是集合在代数运算下的性质，因而提出了一般群的概念，这扩大了群论研究的对象与应用，丰富了群论研究的方法。
定义 设为代数结构，其中G 是一个非空集合，*是G 上的一个二元运算，若
1) 运算*满足结合律，即(a*b)*c=a*(b*c)，∀a ，b ，c ∈G ，
2) 运算*存在单位元e ∈G ：e*a=a*e=a，∀a ∈G ，
3) 对任意a ∈G ，存在逆元a-1∈G ，使得a *a -1=a -1*a =e
则称代数结构是一个群(Group)。
例如整数集Z 关于数的加法均构成群，常称为整数加群。 有理数集Q 、实数集R 关于数的加法也构成群。 这三个群均是交换群。 整数集Z 对于数的乘法不构成群，尽管数的乘法是Z 上的代数运算且满足结合律，也有单位元1，但除1、-1 外的其它任何整数在Z 中均没有逆元。 实数集R 对普通乘法不能构成群，但R-{0}对普通乘法构成群。
2.3 环
环的概念的原始雏形是整数集合。这个概念主要来源于三个方面。一是数
论、整数的推广；二是19世纪对数系的各种推广；三是代数数论和代数几何学及它们导致的交换环理论．
定义 设A 是一个非空集合, 在A 中定义两种二元运算, 一种叫加法, 记作+ , 另一种叫乘法, 记作·。且满足
( 1) (A, + ) 是一个可换群;
( 2) (A, ·) 是一个半群;
( 3) 左、右分配律成立: 对任何a , b, c∈A 有
a ( b + c) = a b + ac, ( a + b) c = a c + bc,
则称代数系(A, + , ·) 是一个环( r ing) 。
例如整数集合Z 对普通加法是群且可交换, 对普通乘法是半群, 也可交换, 并且对加法和乘法适合分配律, 所以( Z, + , ·) 是环, 且是可换环。
2.3 域
从古代起，人们就已经熟悉有理数和它们的运算——加法和乘法．这些运算满足加法交换律和加法结合律，乘法交换律和乘法结合律，以及分配律，而且对于加法存在零元素(0)及逆元素(倒数) ．所有有理数的集合是人们最早认识的具体的域，后来也知道实数集合、复数集合同样满足上述公理，它们也是域．除了这些最熟悉的域之以，在19世纪研究得最多的域是代数数域，这些都是含有无穷多元素的数域．
简单来说，域是具有双重群结构的代数系统，它既是一个加法群，又是一个乘法交换群（0除外），而且加法和乘法由分配率联系起来。域的几个典型例子有有理数域、实数域、复数域、代数函数域等。
3 抽象代数的应用
前面已经提到，抽象代数在现代物理学、现代化学、通信和编码等方面有着广泛的应用。下面就具体叙述应用抽象代数解决的几个问题。
3.1 开关线路的计数问题
一个具有两种状态的电子元件称为一个开关。它可由普通的
一个开关或联动开关组成。每一个开关的状态由一个开关变量来表示, 例如用A
表示一个开关变量, 用0, 1 表示一个开关的两个状态, 则开关变量A 的取值是0 或1。
由若干个开关A 1, A 2, , A k 组成的一个线路称为开关线路, 一个开关线路也
有两个状态, 接通用1 表示, 断开用0 表示, 它的状态由各个开关A i ( i= 1, 2, ⋯, k) 的状态决定, 因而可用一个函数f (A 1, A 2, , A k ) 来表示, f 的取
值是0 或1, 称f 为开关函数, 每一个开关线路对应一个开关函数。
设S = {0, 1}, 则开关函数f (A 1, A 2, , A k ) 是S X S X X S 到S 的一个映射。不难得出, k 个开关变量的开关函数共有22个。
例如当k= 2 时共有16 个开关函数, 列于下表中:
k= 2
的开关函数k
但是不同的开关函数可能对应于相同的开关线路. 因此, 我们的问题是由n 个开关可组成多少种本质上不同的开关线路?
设X= {A 1, A 2, , A n }, G =S n 是X 上的对称群。令Ω= {f 1, f 2, , f n }, m= 2是X 上的所有开关函数的集合。定义 σ∈G 对f ∈ Ω 的作用为σ( f ) = 2n
f σ, 对任何A i ∈ X 有σ( f ) (A i ) =f ( σ(A i ) ) , 则由σ( f 1 ) = σ( f 2 ) 可得f 1= f 2 , 故G 是作用Ω上的置换群。f 1 和f 2 对应于本质上
相同的开关线路的充要条件是它们在G 的作用下在同一轨道上, 因而有本质上不同的开关线路的数目= Ω在G 作用下的轨道数。可用Burnside 定理解决此问题。
3.2 基于换位子的密钥交换协议
定义1 设x,y 为群G 的两个元素，称元素xyx -1y -1为x,y 的换位子．
定义2 共轭问题是指是否存在算法来判断群G 中给定的任意两个元素是共轭元素，两个元素x,y ，共轭是指存在G 中的元素w ，使得y =w -1xw 成立．
基于换位子的密钥交换协议设计如下：
(1)用户A 和用户B 分别公布两个系列 ={a 1, a 2, a n }和SB={b 1, b 2, b n }.
(2)用户A 选择一个由S A 中的元素生成的私钥X ，并对每个b i 进行共轭运算，产生m 个新元素c 1, c 2, c m ，使得c i =Xb i X -1．然后对每个c i 进行伪装，写成 的
形式B 1, B 2, B m ，Be 能够完全掩盖住c i 中有关 的秘密信息．用户A 再通过公共信道把B 1, B 2, B m 传给用户B ．
(3)用户B 选择一个由b 1, b 2, b m 生成的私钥Y ，对每一个a i 进行共轭运算，产生n
-1个新元素d 1, d 2, d n ，使得d i =YaY ．然后对每个d i 进行伪装，写成A i 的形式i
A 1, A 2, A n ，使A i 和d i 表示相同的元素．用户B 再把A 1, A 2, A n 传送给用户
A ．用户A 和用户B 利用所接收到的信息，根据定理可分别计算出公共密钥，即换位子[X , Y ]=XYX -1Y -1．对于竞争敌手(Oscar)来说，即使他知道用户A 和用户B 之间传输的内容，也无法知道 和y ，除非他能够解决群论中的共轭问题，但是目前为止还不知道共轭问题是否有快速的算法．因此，用户A 和用户B 就可安全地得到一个共享的会话密钥．
参考文献：
【1】汤绍春. 由群论中换位子实现的密钥交换及其应用[J]. 韶关学院学报-自
然科学, Sep.2010.
【2】胡冠章. 应用近世代数[M].清华大学出版社，1999年2月.
【3】阮传概，孙 伟, 近世代数及其应用[M].北京邮电大学出版社，2001年9月.
【4】阿·伊柯斯特利金，代数学引论[M].
1 引言
代数学作为数学的一个重要分支，有着悠久的历史。早期代数学的研究对象是具体的, 以方程根的计算为研究中心。那时人们已经能够用根式来求解四次以下的方程的根。此后几乎经历了三百年的时间，数学家们企图用用根式解一般的五次方程而没有成功。阿贝尔(N.H.Abel)在1824 年证明了高于四次的一般方程不能用根式求解。伽罗瓦(E.Galois)在1829-1831 年间完成的论文中, 基于其提出的群(置换群) 的概念, 建立了代数方程可用根式求解的充要条件。从而彻底解决了代数方程用根式求解这一近三百年的数学难题。伽罗瓦提出的“群”概念, 导致了代数学在研究对象、研究方法上的深刻变革, 一系列新的代数领域被建立起来。1930—1931年范·德·瓦尔登(B．L ．vander Waerden ，1903—) 的《近世代数学》一书问世，在数学界引起轰动，由此之后，抽象代数学或近世代数学成为代数学的主流。
一个集合及其上的代数运算构成一个代数结构(代数系统), 抽象代数的主要研究内容是研究各种代数结构, 它是在从较高层次上, 撇开形式上很不相似的代数结构的个性, 抽象出其共性, 用统一的方法描述、研究与推理, 从而得到一些反映事物本质的结论, 再把它们应用到具体的系统中去。由于代数结构中运算的个数以及对运算性质要求的不同, 从而产生了各种各样的代数结构, 这就形成了抽象代数的不同分支, 其中最基本、最重要的分支是群、环和域。
由于代数运算贯穿于任何数学理论与应用中, 以及代数运算和其中元素的一般性, 抽象代数的研究在数学里是基础性的, 其研究方法与结论已渗透到与之相近的数学学科中去。不仅如此, 抽象代数还为现代物理学、现代化学以及计算机科学、现代通信与密码学提供了语言, 其研究方法与重要结论在上述领域都有重要应用。抽象代数不仅是计算机科学中广泛使用的数学工具, 而且成为计算机科学的理论基础之一, 如自动机理论、形式语言、数据结构、密码学以及逻辑电路设计、编码理论等。
作为量子力学的奠基人之一，狄拉克曾经说过“现代物理学日益需要抽象数学及对其基础的探讨。因此，非欧几何与非交换代数曾被视为只是一种虚构的结果或只具有逻辑推理的魅力，而现在已被人们认识到，它们是描绘物理世界一般图画的不可缺少的工具。”本文首先介绍了一些抽象代数的基本概念，然后重点分析了它在数学及其他学科的应用，以掌握其核心的思维方法。 2 基本概念
简单来说，抽象代数涉及基本概念主要包括代数结构、群、环、域。下面我们就从这些概念的来源、定义和实例等几个方面来逐一介绍。
2.1 代数结构
代数结构是在一种或多种运算下封闭的一个或多个集合，它包含集合及符合某些公理的运算或关系。它主要研究集合上的抽象运算及运算的性质和结构。研究抽象代数的基本特征和基本结构，不仅能深化代数结构的理论研究，也能扩展其应用领域。
定义 设S 是一个非空集合, f1, f2, „, fn是S 上的n 个代数运算, 则S 与n 个运算所组成的结构称为代数结构(Algepaic Structure)或代数系统(Algepaic System), 记为。根据上述定义, 一个代数结构需满足如下两个条件：
1) 有一个非空集合S, 称为载体;
2) 一些定义在载体S 上的运算。
设S 为一非空集合, *为S 上满足结合律、交换律的二元运算, 那么为代数结构, 称为抽象代数结构, 即为一类具体代数结构的抽象, 例如, ,
等都是的具体例子。其中，N,Z 分别位自然数集合、整数集合，+，*为一般加与乘运算。
代数结构是多种多样的，如何辨认哪些代数结构在本质上是一样的，哪些代数结构在本质上是不同的？这样，对于本质相同的一类代数结构只需要研究其中一个就可以了解其它的代数结构。这就涉及到代数结构的判定问题，这里就不在具体叙述。
2.2 群
群是抽象代数中发展最早、内容最广泛、应用最充分的一部分，是建立其它代数结构的基础。 群论的研究起源于对置换群的研究，随后，发现大多数问题中，重要的不是构成群的置换本身，而应该是集合在代数运算下的性质，因而提出了一般群的概念，这扩大了群论研究的对象与应用，丰富了群论研究的方法。
定义 设为代数结构，其中G 是一个非空集合，*是G 上的一个二元运算，若
1) 运算*满足结合律，即(a*b)*c=a*(b*c)，∀a ，b ，c ∈G ，
2) 运算*存在单位元e ∈G ：e*a=a*e=a，∀a ∈G ，
3) 对任意a ∈G ，存在逆元a-1∈G ，使得a *a -1=a -1*a =e
则称代数结构是一个群(Group)。
例如整数集Z 关于数的加法均构成群，常称为整数加群。 有理数集Q 、实数集R 关于数的加法也构成群。 这三个群均是交换群。 整数集Z 对于数的乘法不构成群，尽管数的乘法是Z 上的代数运算且满足结合律，也有单位元1，但除1、-1 外的其它任何整数在Z 中均没有逆元。 实数集R 对普通乘法不能构成群，但R-{0}对普通乘法构成群。
2.3 环
环的概念的原始雏形是整数集合。这个概念主要来源于三个方面。一是数
论、整数的推广；二是19世纪对数系的各种推广；三是代数数论和代数几何学及它们导致的交换环理论．
定义 设A 是一个非空集合, 在A 中定义两种二元运算, 一种叫加法, 记作+ , 另一种叫乘法, 记作·。且满足
( 1) (A, + ) 是一个可换群;
( 2) (A, ·) 是一个半群;
( 3) 左、右分配律成立: 对任何a , b, c∈A 有
a ( b + c) = a b + ac, ( a + b) c = a c + bc,
则称代数系(A, + , ·) 是一个环( r ing) 。
例如整数集合Z 对普通加法是群且可交换, 对普通乘法是半群, 也可交换, 并且对加法和乘法适合分配律, 所以( Z, + , ·) 是环, 且是可换环。
2.3 域
从古代起，人们就已经熟悉有理数和它们的运算——加法和乘法．这些运算满足加法交换律和加法结合律，乘法交换律和乘法结合律，以及分配律，而且对于加法存在零元素(0)及逆元素(倒数) ．所有有理数的集合是人们最早认识的具体的域，后来也知道实数集合、复数集合同样满足上述公理，它们也是域．除了这些最熟悉的域之以，在19世纪研究得最多的域是代数数域，这些都是含有无穷多元素的数域．
简单来说，域是具有双重群结构的代数系统，它既是一个加法群，又是一个乘法交换群（0除外），而且加法和乘法由分配率联系起来。域的几个典型例子有有理数域、实数域、复数域、代数函数域等。
3 抽象代数的应用
前面已经提到，抽象代数在现代物理学、现代化学、通信和编码等方面有着广泛的应用。下面就具体叙述应用抽象代数解决的几个问题。
3.1 开关线路的计数问题
一个具有两种状态的电子元件称为一个开关。它可由普通的
一个开关或联动开关组成。每一个开关的状态由一个开关变量来表示, 例如用A
表示一个开关变量, 用0, 1 表示一个开关的两个状态, 则开关变量A 的取值是0 或1。
由若干个开关A 1, A 2, , A k 组成的一个线路称为开关线路, 一个开关线路也
有两个状态, 接通用1 表示, 断开用0 表示, 它的状态由各个开关A i ( i= 1, 2, ⋯, k) 的状态决定, 因而可用一个函数f (A 1, A 2, , A k ) 来表示, f 的取
值是0 或1, 称f 为开关函数, 每一个开关线路对应一个开关函数。
设S = {0, 1}, 则开关函数f (A 1, A 2, , A k ) 是S X S X X S 到S 的一个映射。不难得出, k 个开关变量的开关函数共有22个。
例如当k= 2 时共有16 个开关函数, 列于下表中:
k= 2
的开关函数k
但是不同的开关函数可能对应于相同的开关线路. 因此, 我们的问题是由n 个开关可组成多少种本质上不同的开关线路?
设X= {A 1, A 2, , A n }, G =S n 是X 上的对称群。令Ω= {f 1, f 2, , f n }, m= 2是X 上的所有开关函数的集合。定义 σ∈G 对f ∈ Ω 的作用为σ( f ) = 2n
f σ, 对任何A i ∈ X 有σ( f ) (A i ) =f ( σ(A i ) ) , 则由σ( f 1 ) = σ( f 2 ) 可得f 1= f 2 , 故G 是作用Ω上的置换群。f 1 和f 2 对应于本质上
相同的开关线路的充要条件是它们在G 的作用下在同一轨道上, 因而有本质上不同的开关线路的数目= Ω在G 作用下的轨道数。可用Burnside 定理解决此问题。
3.2 基于换位子的密钥交换协议
定义1 设x,y 为群G 的两个元素，称元素xyx -1y -1为x,y 的换位子．
定义2 共轭问题是指是否存在算法来判断群G 中给定的任意两个元素是共轭元素，两个元素x,y ，共轭是指存在G 中的元素w ，使得y =w -1xw 成立．
基于换位子的密钥交换协议设计如下：
(1)用户A 和用户B 分别公布两个系列 ={a 1, a 2, a n }和SB={b 1, b 2, b n }.
(2)用户A 选择一个由S A 中的元素生成的私钥X ，并对每个b i 进行共轭运算，产生m 个新元素c 1, c 2, c m ，使得c i =Xb i X -1．然后对每个c i 进行伪装，写成 的
形式B 1, B 2, B m ，Be 能够完全掩盖住c i 中有关 的秘密信息．用户A 再通过公共信道把B 1, B 2, B m 传给用户B ．
(3)用户B 选择一个由b 1, b 2, b m 生成的私钥Y ，对每一个a i 进行共轭运算，产生n
-1个新元素d 1, d 2, d n ，使得d i =YaY ．然后对每个d i 进行伪装，写成A i 的形式i
A 1, A 2, A n ，使A i 和d i 表示相同的元素．用户B 再把A 1, A 2, A n 传送给用户
A ．用户A 和用户B 利用所接收到的信息，根据定理可分别计算出公共密钥，即换位子[X , Y ]=XYX -1Y -1．对于竞争敌手(Oscar)来说，即使他知道用户A 和用户B 之间传输的内容，也无法知道 和y ，除非他能够解决群论中的共轭问题，但是目前为止还不知道共轭问题是否有快速的算法．因此，用户A 和用户B 就可安全地得到一个共享的会话密钥．
参考文献：
【1】汤绍春. 由群论中换位子实现的密钥交换及其应用[J]. 韶关学院学报-自
然科学, Sep.2010.
【2】胡冠章. 应用近世代数[M].清华大学出版社，1999年2月.
【3】阮传概，孙 伟, 近世代数及其应用[M].北京邮电大学出版社，2001年9月.
【4】阿·伊柯斯特利金，代数学引论[M].
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