Question

急急急！！！初一数学题。高分。

建立模型解决问题，这是数学的重要内容，在代数中模型除了方程，不等式，函数，外，还应注意一些重要的恒等式，如：（a+b)*2=a*2+2ab+b*2, ①：（a+b)*3=a*3+3a*2 b+3ab*2+b*2. ②：......利用公式①已求得1+2+3。。。。。。+N=2分之N（N+1），下面我们将利用公式②来求：

由公式2得：2*3=（1+1）*3=1*3+3乘1*2+3乘1+1

3*3=（2+1）*3=2*3+3乘2*2+3乘2+1

4*3=（3+1）*3=3*3+3乘3*2+3乘3+1

5*3=（4+1）*3=4*3+3乘4*2+3乘4+1

⒈继续写出上述的第N个算式，并把所得的N个式子两边分别相加得到什么结果？

⒉根据上述的结果，求出1*2+2*2+3*2+。。。。。。。。。。+N*2的公式

Answer 1

（1）N个算式是：（n+1)^3=n^3+3乘n^2+3乘n+1;(n^3表示n的3次方)；
（2）将所有n个算式相加得到：
2^3+3^3+4^3+5^3+...+(n+1)^3=(1^3+2^3^3^3+4^3+...+n^3)
+3*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2)+3*(1+2+3+4+...+n)+n;
所以：[2^3+3^3+4^3+5^3+...+(n+1)^3]-(1^3+2^3^3^3+4^3+...+n^3)=
3*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2)+3*n*(1+n)/2+n;
(n+1)^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2)+3*n*(1+n)/2+n;
3*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2)=(n+1)^3-3*n*(1+n)/2-n-1=[(n+1)/2]*[2n^2+n]=n(n+1)(2n+1)/2;
所以：1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6.

Answer 2

待定