Question

求级数 (2x-1)^n/(n^22n) 的收敛半径与收敛域

Answer 1

我们可以使用根值测试来求解级数的收敛半径。根据根值测试，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2x-1)^n}{n^2 2^n}$ 的收敛半径 $R$ 满足：
$$\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left|\frac{(2x-1)^n}{n^2 2^n}\right|} = \frac{2|x-1/2|}{2\sqrt{2}} < 1$$
化简得：
$$|x-1/2| < \frac{\sqrt{2}}{2}$$
因此，收敛半径为 $R=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
接下来，我们需要确定级数的收敛域。当 $x=\frac{1}{2}$ 时，级数变为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 2^n}$，这是一个已知的收敛级数。当 $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ 时，级数变为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$，这也是一个已知的收敛级数。因此，我们可以得到收敛域为 $\left[\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{2}\right)$。
综上所述，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2x-1)^n}{n^2 2^n}$ 的收敛半径为 $R=\frac{\sqrt{2}}{2}$，收敛域为 $\left[\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{2}\right)$。

Answer 2

级数一般项 u<n> = (2x-1)^n/(n^2 · 2n) = 2^(n-1)(x-1/2)^n/n^3 = a<n>(x-1/2)^n
收敛半径 R = lim<n→∞>a<n>/a<n+1>
= lim<n→∞>2^(n-1) · (n+1)^3/[(n^3)2^n]
= lim<n→∞> (n+1)^3/[2(n^3)] = 1/2
x = 1/2 时， 为零级数， 收敛；
x = -1/2 时， 级数一般项 u<n> -(-2)^(n-1)/(n^3) ， 发散。
收敛域 （-1/2，1/2]