Question

已知数列{an}各项为正数，前n项和Sn=[(an+1)/2]^2,求证数列{an}是等差数列，并求{an}的通项公式

Answer 1

an=Sn-S(n-1)= 1/4*(an^2-a(n-1)^2) + 1/2*(an-a(n-1))
化简得(an+a(n-1))*(an-a(n-1)-2)=0，
由于an>0,所以an-a(n-1)=2
即an是等差数列，且由
2√S1=a1+1可以求出a1=1，
因此an的表达式为an=1+2*(n-1)=2n-1

Answer 2

an=Sn-Sn-1=[an^2+2an-a(n-1)^2-2a(n-1)]/4
4an=an^2+2an-a(n-1)^2-2a(n-1)
an^2-a(n-1)^2=2a(n-1)+2an
[an+a(n-1)][an-a(n-1)]=2[an+a(n-1)]
an-a(n-1)=2
为定值，数列{an}是等差数列。

Answer 3

an=Sn-S(n-1)=[(an+1)/2]^2-{[a(n-1)+1]/2}^2

等号2边运算可得
（an-1）^2=[a(n-1)+1]^2

an=a(n-1)+2,得证

a1=[(a1+1)/2]^2
a1=1
好了，首相为1，公差为2

Answer 4

4Sn=an²+2an+1 ① 4S（n+1）=a(n+1)²+)+1 ② 当n≥2时 ②-① 4a(n+1)-4an=a(n+1)²-an²+2a(n+1)-2an [a(n+1)-an-2][a(n+1)+an]=0 a(n+1)+an＞0 a(n+1)-an-2=0 a(n+1)=an+2 经检验n=1时也成立 an=2n-1