Question

证明：对于f(x)=0的多重根x*，牛顿法仅为线性收敛．

Answer 1

【答案】：如果存在a,b∈F,使f(x)=a（x-b）^n,那么显然f'(x)|f(x),所以条件的充分性得证.
现在证明必要性,因为f是多项式,假设是n次的,
所以,degf'(x)=degf(x)-1,又因为
f'(x)|f(x),所以存在一次多项式mx+p,使得
f(x)=(mx+p)f'(x),求导得到：f'（x）=mf'(x)+(mx+p)f''(x),
如果m＝1,那么(x+p)f''(x)=0,知道f''(x)=0,于是f'是常数k,于是f是一次多项式f(x)=(x+n)f'(x)=k(x+p)得证,
如果m≠1,那么得到
f'（x）=(mx+p)f''(x)/(1-m)＝c(1)(mx+p)f''(x),
C(1)是常数1/(m-1)
再求导,不断的进行,到n-1阶和n阶,得到一系列递推关系：
f(x)=(mx+p)f'(x),f'（x）＝c(1)(mx+p)f''(x),
f''（x）＝c(2)(mx+n)f'''(x),...f^(n)（n阶导数）＝c(n)【因为n次多项式n阶导数是常数】
把这些递推连起来写,就有f(x)=c(1)c(2)...c(n)(mx+p)^n