Question

谁知道1^4+2^4+3^4+…+n^4=?关键是推导过程！

Answer 1

要算1^4+2^4+……+n^4
先要知道1+2+3+……+n=½n(n+1)
1²+2²+3²+……+n²=(1/6)n(n+1)(2n+1)
1³+2³+3³+……+n³=[½n(n+1)]²

令f(k)=k^5，则f(k+1)-f(k)=5k^4+10k³+10k²+5k+1
这就是数列{k^5}的递推公式

于是f(2)-f(1)=5×1^4+10×1³+10×1²+5×1+1
f(3)-f(2)=5×2^4+10×2³+10×2²+5×2+1
……
f(n+1)-f(n)=5n^4+10n³+10n²+5n+1

把这所有等式相加
得 f(n+1)-f(1)=5×∑n^4+10×∑n³+10×∑n²+5×∑k+n

(n+1)^5-1=5×∑n^4+10×[½n(n+1)]²+10×(1/6)n(n+1)(2n+1)+5×½n(n+1)+n

所以
∑n^4=【(n+1)^5-1-10×[½n(n+1)]²-10×(1/6)n(n+1)(2n+1)-5×½n(n+1)-n】/5

=(1/30)n(6n^4-15n³+10n²-135n-68)

方法就是这样，不过计算太烦，我也不知道自己算对了没有。

而且，照理来说，还应对这结果因式分解，但我实在不会，没有办法。

【希望对你有帮助】