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设函数f(x)=((1+a^x)/(1-a^x))(a>0且a≠1),g(x)是f(x)的反函数。(1)求f(-3)+f(-2)+f(-1)+f(1)+f(2)+f(3)...
设函数f(x)=((1+a^x)/(1-a^x))(a>0且a≠1),g (x)是f(x)的反函数。
(1) 求f (-3)+f (-2)+f (-1)+f (1)+f (2)+f (3)+f(4)的值;
(2) 求函数g(x)的解析式;
(3) 解不等式g(x)≥0 展开
(1) 求f (-3)+f (-2)+f (-1)+f (1)+f (2)+f (3)+f(4)的值;
(2) 求函数g(x)的解析式;
(3) 解不等式g(x)≥0 展开
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解:(1)f(-x)=(1+1/a^x)/(1-1/a^x)
(通分化简)....=(a^x+1)/(a^x-1)
所以得,f(x)+f(-x)=0
故 原式=0+f(4)
=(1+a^4)/(1-a^4)
(2)f(x)=y=(1+a^x)/(1-a^x)
所以, y(1-a^x)=1+a^x
y-y×a^x=1+a^x
y-1=a^x(1+y)
所以,a^x=(y-1)/(y+1)
x=㏒a[(y-1)/(y+1)] 【㏒以a为底,(y-1)/(y+1)的对数】
又因为 g(x)是f(x)的反函数
所以 g(x)=㏒a[(x-1)/(x+1)]
【貌似反函数在考试时不怎么考,我是这么记的,A是B的反函数,只要把B的X看成A的Y,B的Y看成A的X就可以了】
(3)g(x)定义域(-∞,-1)∪(1,+∞)
① 0<a<1时, g(x)≥0 g(x)为减函数
故, (x-1)/(x+1)≤1
解得 x>-1 舍
②a>1时, g(x)为增函数
故, (x-1)/(x+1)≥1
解得 x<-1
综,x的解集为(-∞,-1)
(通分化简)....=(a^x+1)/(a^x-1)
所以得,f(x)+f(-x)=0
故 原式=0+f(4)
=(1+a^4)/(1-a^4)
(2)f(x)=y=(1+a^x)/(1-a^x)
所以, y(1-a^x)=1+a^x
y-y×a^x=1+a^x
y-1=a^x(1+y)
所以,a^x=(y-1)/(y+1)
x=㏒a[(y-1)/(y+1)] 【㏒以a为底,(y-1)/(y+1)的对数】
又因为 g(x)是f(x)的反函数
所以 g(x)=㏒a[(x-1)/(x+1)]
【貌似反函数在考试时不怎么考,我是这么记的,A是B的反函数,只要把B的X看成A的Y,B的Y看成A的X就可以了】
(3)g(x)定义域(-∞,-1)∪(1,+∞)
① 0<a<1时, g(x)≥0 g(x)为减函数
故, (x-1)/(x+1)≤1
解得 x>-1 舍
②a>1时, g(x)为增函数
故, (x-1)/(x+1)≥1
解得 x<-1
综,x的解集为(-∞,-1)
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