Question

高一数学。。。

已知f（x）=8x^2-6kx+(2k+1),
（1）若f(x)=0的两根分别为某三角形两内角的正弦值，求k的取值范围
（2）问是否存在实数k，使得方程f(x)=0的两根是直角三角形两个内角的正弦值。
大家不用帮我算，只要回答我说的就可以。
（1）设两根为x1，x2.
则要满足：①△≥0，②f（0）＞0，③f（1）≥0，④0＜x1+x2＜2.
三为什么可以取等号的，那如果是相等的实数根，那么f（0）这个时候为什么不可以取等号的？
（2)满足：当两根是锐角时：①△≥0，②0＜x1+x2≤√2（这个怎么出来的，麻烦证下），③0＜x1x2＜1，④（x1+x2）^2=1+2x1x2
当一个直角一个锐角时：①△≥0，②1＜x1+sin90°＜2，③0＜x1*sin90°＜1，④（x1+sin90°）^2=1+2x1sin90°

在直角三角形里为什么要考虑，④（x1+x2）^2=1+2x1x2而锐角三角形却不用？为什么直角三角形也不用像锐角三角形那样的思路解？就是先满足图像的约束条件，然后再满足根本身的一些范围条件？

Answer 1

(1)
f（1）取等号不是因为相等的实数根得关系
三角形内角的正弦值不可能为0，但可以为1
即函数可能过点（1,0），但不可能过点（0，0）
∴f（1）可以取等号，f(0)不可以取等号
（2）
不妨设一个锐角为A，则另一个为（90-A）
x1+x2=sinA+sin（90-A）=sinA+cosA=√2sin（A+π/4）≤√2

在直角三角形中，（x1+x2）²=x1²+x2²+2x1x2=1+2x1x2
这是由直角三角形的性质决定的：直角三角形2锐角的正弦值（或余弦值）的平方和为1
而锐角三角形没有这种性质，当然不用考虑
直角三角形中有一个角是90°，是已知的，相当于只有1个未知数
而锐角三角形3个角都是未知的，因此2种存在根本性的差
另外（1）中②③没什么必要，用0＜x1x2＜1完全可以代替
因此第（1）题中的三个条件就变为
①△≥0，②0＜x1x2＜1，③0＜x1+x2＜2.
与第（2）题相比就是把③的范围缩小了，增加了一个④
而既然0＜x1+x2≤√2已经成立了，再考虑0＜x1+x2＜2不就是多此一举了
所以说第（2）题实质上的确是利用第（1）题的思路，只不过由于直角三角形的特殊性，使得与第（1）题有些不同

Answer 2

1。三角形内角的取值范围是（0°，180°），故其正弦值的取值范围是（0,1】
所以原问题等价于方程在区间（0,1】上有两解，由区间根的知识可得f(1)≥0
2。三角形是直角三角形的时候，两个锐角互余，故A=90°-B,由诱导公式可得sinB=cosA,即x1=sinA,x2=coaA,所以x1+x2=sinA+coaA=√2sin（A＋45°）,A∈（0°,90°）,所以x1＋x2∈（1,√2]。同理，（x1＋x2）²＝（sinA）²＋（cosA）²＋2sinAcosA＝1＋2x1x2

Answer 3