Question

设A为n阶实反对称矩阵.证明：

Answer 1

【答案】：由4-15题知实反对称矩阵A的特征值为0或纯虚数，故-1不是A的特征值，即|-E-A|=(-1)ⁿ|E+A|≠0，从而有|E+A|≠0，故E+A为可逆矩阵，于是知(E+A)^T=E^T+A^T=E-A亦为可逆矩阵.$因为A^T=-A，所以
BB^T=(E-A)(E+A)^-1{(E-A)(E+A)^-1}^T
=(E-A)(E+A)^-1[(E+A)^-1]^T(E-A)^T
=(E-A)(E+A)^-1[(E+A)^T]^-1(E-A^T)
=(E-A)(E+A)^-1(E-A)^-1(E+A) (4-21)
从(4-21)式可见，要证明实方阵B为正交矩阵，即证明BB^T=E，只要能证明
(E-A)^-1(E+A)=(E+A)(E-A)^-1 (4-22)即可(因为将(4-22)式代入(4-21)式便可得BB^T=E).用E-A左乘(4-22)式两端，并用(E-A)右乘(4-22)式两端，得
(E+A)(E-A)=(E-A)(E+A) (4-23)
如果用(E-A)^-1分别左乘和右乘(4-23)式两端，又可得(4-22)式，故(4-22)式与(4-23)式等价.因此，要证明(4-22)式成立，只要证明(4-23)式成立.易知(4-23‘)式两端都等于E-A²，故(4-23)式成立，于是本题得证.