Question

二重积分的计算方法有哪些，各有什么性质？

Answer 1

性质1 函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差），即 　　
∫∫[f(x,y)±g(x,y)]dσ=∫∫f(x,y)dσ±∫∫g(x,y)dσ 　　
性质2 被积函数的常系数因子可以提到积分号外，即 　
　∫∫kf(x,y)dσ=k∫∫f(x,y)dσ (k为常数） 　　
性质3 如果在区域D上有f(x,y)≦g(x,y),则∫∫f(x,y)dσ≦∫∫g(x,y)dσ 　　
推论 ∣∫∫f(x,y)dσ∣≦∫∫∣f(x,y）∣dσ 　　
性质4 设M和m分别是函数f(x,y)在有界闭区间D上的最大值和最小值，σ为区域D的面积， 　　
则mσ≦∫∫f(x,y)dσ≦Mσ 　　
性质5 如果在有界闭区域D上f(x,y)=1, σ为D的面积，则σ=∫∫dσ 　　
性质6 二重积分中值定理 　　
设函数f(x,y)在有界闭区间D上连续，σ为区域的面积，则在D上至少存在一点（ξ，η），使得 　　∫∫f(x,y)dσ=f(ξ，η）●σ