Question

数学题，求解，（要过程）

1.在直角梯形ABCD中，AD//BC,CD垂直BC,E为BC边上的点。将直角梯形ABCD沿对角线BD折叠，使三角形ABD与三角形EBD重合，若角A=120度，AB=4，求CD的长。
2.正方形ABCD的对角线相交于O，MN//AB且分别与AO，BO交于吗，M，N。
求证：（1）BM=CN (2)BM垂直CN

Answer 1

解：第一题 因为沿对角线折叠，三角形ABD与三角形EBD重合，又AD//BC，所以∠ABD=∠DBC=∠ADB，又∠A=120度，则∠ABD=∠DBC=∠ADB=30度。又因为AB=4，易得出CD=2倍的根号3。

  第二题 因为AM=BN,AB=BC，∠MAB=∠NBC,所以三角形MAB全等于三角形NBC，则得出BM=CN

        由于MN//AB，三角形MAB全等于三角形NBC，所以∠BMN=∠MBA=∠NCB,又 ∠ABO=∠BCO=45度，则∠MBO=∠MCN， 而且∠BMO=∠CML，得出三角形BOM与三角形CLM为相似三角形。易得到∠CLM=∠BOM=90度， 即BM垂直CN

Answer 2

1。三角形ABD与三角形EBD重合，可知三角形ABD与三角形EBD关于BD对称，即AE，BD互相垂直平分，而对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形，故AD=DE=BE=AB=4

又因为角BED=角A=120°，所以角CED=60°，角CDE=30°，所以在Rt三角形CDE中，CE=2,CD=2√3

2。（1）MN//AB，所以AM=BN，而角OAB=角OBC=45°，AB=BC，所以三角形ABM与BCN全等，所以BM=CN

(2)延长CN交BM于P
因为三角形ABM与BCN全等，所以∠ABM=∠BCN，而∠ABM+∠OBM=45°，∠BCN+∠OCN=45°，所以∠OBM=∠OCN
又因为∠OCN+∠ONC=90°，∠ONC=∠BNP（对顶角），所以∠OBM+∠BNP=90°，所以三角形BNP中，∠BPN=90°，所以BM垂直于CN

Answer 3

已知DAB和DEB重合，所以角ABD和角DBE相等。过点A做DC的平行线,设交于点F所以角DAF为90,又因为角DAB为120,所以DC等于AF为2根号3

BC=AB AM=BN <MAB=<NBC 所以三角形MAB于三角形NBC全等 BM=CN

由于全等,角MBA=角NCB设为X,延长CN交BM于点F所以,<CFB=180-<MBC-<NCB=180-(45-X+45)-X=90 所以BM垂直CN