cos(α+β)的正弦和余弦公式是什么?
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俊狼猎英团队为您解答:
两角和的正弦与余弦公式:
(1)
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;
(2)
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;
教材的思路是在直角坐标系的单位圆中,
根据两点间的距离公式推导:
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;
再用诱导公式证明:
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;
如图所示:∠AOD=α,∠BOD=-β,∠AOC=β,∠DOC=β+α。
则B(cosβ,-sinβ);D(1,0);A(cosα,sinα);C[cos(α+β),sin(α+β)]。
∵
OA=OB=OC=OD=1
∴
CD=AB。
∵
CD2=[cos(α+β)-1]
2+[
sin(α+β)-0]
2;
=cos2(α+β)-
2cos(α+β)+1
+
sin2(α+β);
=2-2
cos(α+β)。
AB2=(cosα-cosβ)2+
(sinα+sinβ)2;
=cos2α-2cosαcosβ+cos2β+sin2α+2sinαsinβ+
sin2β;
=2-2[cosαcosβ-
sinαsinβ]。
∴
2-2
cos(α+β)=2-2[cosαcosβ-
sinαsinβ]。
∴
cos(α+β)=cosαcosβ-
sinαsinβ
∴
sin(α+β)=
cos(90°-α-β)
=cos[(90°-α)+(-β)]
=cos(90°-α)cos(-β)-
sin(90°-α)sin(-β)
=sinαcosβ+cosαsinβ
两角和的正弦与余弦公式:
(1)
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;
(2)
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;
教材的思路是在直角坐标系的单位圆中,
根据两点间的距离公式推导:
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;
再用诱导公式证明:
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;
如图所示:∠AOD=α,∠BOD=-β,∠AOC=β,∠DOC=β+α。
则B(cosβ,-sinβ);D(1,0);A(cosα,sinα);C[cos(α+β),sin(α+β)]。
∵
OA=OB=OC=OD=1
∴
CD=AB。
∵
CD2=[cos(α+β)-1]
2+[
sin(α+β)-0]
2;
=cos2(α+β)-
2cos(α+β)+1
+
sin2(α+β);
=2-2
cos(α+β)。
AB2=(cosα-cosβ)2+
(sinα+sinβ)2;
=cos2α-2cosαcosβ+cos2β+sin2α+2sinαsinβ+
sin2β;
=2-2[cosαcosβ-
sinαsinβ]。
∴
2-2
cos(α+β)=2-2[cosαcosβ-
sinαsinβ]。
∴
cos(α+β)=cosαcosβ-
sinαsinβ
∴
sin(α+β)=
cos(90°-α-β)
=cos[(90°-α)+(-β)]
=cos(90°-α)cos(-β)-
sin(90°-α)sin(-β)
=sinαcosβ+cosαsinβ
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