Question

初中数学几何

如图，ABCD为平行四边形，AD=a,BE‖AC,DE交AC的延长线于F点，交BE于E点。
（1）求证：DF=FE。
（2）若AC=2CF,∠ADC=60°，AC⊥DC，求BE的长。
（3）在（2）的条件下，求四边形ABED的面积。

Answer 1

（1）连结BD交AC与O
∵平行四边形ABCD
∴BO=DO,AO=CO
又∵AF//BE
∴（中位线原理）DF=FE
（2）
∵AC⊥CD,∠ADC=60º,AD=a
∴（勾股定理）AC=AD·sin60º=C
又∵AC=2AO=2CO=2CF
∴AO=CO=CF
∴AC=OF=二分之根号三倍的a
又∵OF是ΔBDE的中位线
∴BE=2OF=根号三倍的a
（3）
∵SABCD=SABD+SBDE
又∵平行四边形ABCD
∴SABD=SADC=AC×CD×1/2=二分之根号三倍的a×二分之a×1/2=八分之根号三a²
延长DC交BE于G
∵DC⊥OF,OF是三角形BDE的中位线
∴DG⊥BE，DG=2DC
∴SBDE=BE×2DC×1/2=根号三倍的a×a×1/2=二分之根号三倍的a²
∴SABED=八分之根号三a²＋二分之根号三倍的a²=八分之五倍根号三倍的a²

Answer 2

1：连接BD，交AC于G
∵ABCD为平行四边形
∴BG=GD
在△BDE中，AF‖BE,G为BD中点
∴DF=EF
2：延长DC交BE于H
∵∠ADC=60°，AC⊥DC
∴DH⊥BE，∠CAD=30°∴CD=a/2
∴CD=AB=CH=a/2,∴AC=BH=a
在直角△ACD中，CD=a/2，AC=√3/2*a
∵AC=2CF，CF=√3/4*a
在△DHE中，C为中点，则HE=2CF=AC==√3/2*a
BE=BH+HE=√3/2*a+a
3:四边形面积=△ABD加△BDE面积
△ABD=a*(√3/4*a)/2
△BDE=BE*DH=(√3/2*a+a)*a
四边形面积=(5√3/8+1)a²

Answer 3

、(1)证明：延长DC交BE于点M，∵BE‖AC，AB‖DC,∴四边形ABMC是平行四边形，

∴CM=AB=DC,C为DM的中点，BE‖AC，DF=FE;

（2）解：由（2）得CF是△DME的中位线，

故ME=2CF,又∵AC=2CF，四边形ABMC是平行四边形，

∴BE=2BM=2ME=2AC, 又∵AC⊥DC,

∴在Rt△ADC中利用勾股定理得AC=二分之根号3倍a, ∴BE根号3倍a

(3)可将四边形ABED的面积分为两部分，梯形ABMD和三角形DME,

在Rt△ADC中利用勾股定理得DC=a/2,

由CF是△DME的中位线得CM=DC=a/2,

四边形ABMC是平行四边形得AM=MC=a/2,BM=AC=二分之根号3倍a

∴梯形ABMD面积为8分之3倍根号3倍a;

由AC⊥DC和BE‖AC可证得三角形DME是直角三角形，

其面积为4分之根号3倍a：,∴四边形ABED的面积为8分之5倍根号3倍a