Question

初二数学题（有点烦）

一条直径将圆周分成两个半圆周，在每个分点上标上质数p；第二次将两个半圆周的每一个分成两个相等的1/4圆周，在新产生的分点上标上相邻两数和的1/2；第三次将四个1/4圆周的每一个分成两个相等的1/8圆周，在新产生的分点标上其相邻两数和的1/3；第四次将八个1/8圆周的每一个分成两个相等的1/16圆周，在新产生的分点标上其相邻两数和的1/4……如此进行了n次，最后，圆周上的所有数字之和为17170，求n和p的值各为多少。

Answer 1

解：本题不必想得太复杂，即第n次分圆增加了第(n-1)次分圆后所有数字之和的2/n倍(因为是相邻两数之和，所以每个数计算了2次)
设第N次后数字的总和为X(n)，第(N-1)次的总和为X(n-1)，可得如下的递推关系式：
X(n)=X(n-1)+2X(n-1)/n ,
X(n)=X(n-1)×(n+2)/n
其中X(1)=2p，写出各项连乘代入X(n)有：
X(n)=[(n+2)/n]×[(n+1)/(n-1)]×.....(4/2)×2p,
可以约分为：X(n)=p(n+2)(n+1)/3;
因为，和为17170，可写成：
X(n)=p(n+2)(n+1)=17170×3=51510=2×3×5×17×101
因为(n+2)、(n+1)为连续自然数，所以n+1=5，n+2=6，即n=4
n=4，解得p=1717