Question

求曲线x=2t+y=3t^2+z=t^3在t=1处的切线和法平面方程

Answer 1

我们已知曲线的参数方程为 x = 2t, y = 3t^2, z = t^3。
要求在 t = 1 处的切线和法平面方程，我们需要计算该点的切向量和法向量。
首先，计算 t = 1 处的切向量：
切向量 = (dx/dt, dy/dt, dz/dt)
= (d(2t)/dt, d(3t^2)/dt, d(t^3)/dt)
= (2, 6t, 3t^2)
代入 t = 1，得到切向量为 (2, 6, 3)。
接下来，计算法向量，法向量垂直于切向量。由于切向量为 (2, 6, 3)，我们可以选择两个非零向量与切向量相乘来得到法向量。
选择向量 (1, 0, 0) 和 (0, 1, 0) 与切向量 (2, 6, 3) 相乘，可以得到两个垂直于切向量的向量 (6, -2, 0) 和 (-3, 0, 2)。这两个向量的叉乘即为法向量。
法向量 = (6, -2, 0) × (-3, 0, 2)
= (0, -6, -6)
因此，t = 1 处的法向量为 (0, -6, -6)。
切线的方程可以用点斜式表示，其中点为曲线上的点 (x0, y0, z0) = (2(1), 3(1)^2, (1)^3) = (2, 3, 1) ，斜率为切向量。
切线方程为：(x - x0) / 2 = (y - y0) / 6 = (z - z0) / 3
代入点 (2, 3, 1)，得到切线方程：
(x - 2) / 2 = (y - 3) / 6 = (z - 1) / 3
法平面的方程可以用点法式表示，其中点为曲线上的点 (x0, y0, z0) = (2, 3, 1) ，法向量为法向量。
法平面方程为：0(x - 2) - 6(y - 3) - 6(z - 1) = 0
或简化为：-6y - 6z + 24 = 0