Question

有道数学例题我看答案时有2步看不懂，请高人指点

题目：证明：若x为锐角，则sin(cosx)<cosx<cos(sinx).
解：∵|向量MP|=sinx>0,弧长AP>|向量AP|>|向量MP|,
∴0<sinx<x<π/2.
在（0，π/2）内，cosx为减函数，
∴cosx<cos(sinx),又0<cosx<1<π/2，设β=cosx为锐角，
∴sinx<x
∴sin(cosx)<cosx.
∴sin(cosx)<cosx<cos(sinx).

我想问：第二行中为什么sinx<x?
倒数第三行中为什么sinβ<β?

Answer 1

sinx<x是相当于定理公式一样要记住的，可以直接使用，证明如下：

令y=x-sinx,对y求导：y'=1-cosx>=0（0<x<π）恒成立，所以y是一个递增函数,当x=0时，可以取得最小值y=0，所以当x>0时，x>sinx恒成立。

我不知道你有没有学过用函数求导来求递增递减性，这是最简单的一种证明方法，你自己画图也可得出结论。如果没学过，就把这一结论记住直接使用即可，不会扣分的。

还有不懂可继续问。

Answer 2

令t=sinx-x, 对函数t(x)求导
∴t'=cosx-1
0＜x＜π/2 则0＜cosx＜1
t＜0
在定义区间上恒为减函数
t＜t(0)=0
∴sinx＜x

Answer 3

如果X为锐角，则sinx<x, 因为此时sinx -x在（0，π）恒小于0，
所以B为锐角，则sinB < B

Answer 4

sinx就是MP的长度，x就是弧AP的长度，弧长AP>|向量AP|>|向量MP

Answer 5

第二行中为什么sinx<x? 因为弧长AP>|向量AP|>|向量MP|,在圆里面，x=弧长AP，sinx=|向量MP|
倒数第三行中为什么sinβ<β? 因为β=cosx为锐角，此时β与x同为锐角，故可用β替换x得出sinβ<β