如何求矩阵A的秩?
矩阵A的秩与A的伴随矩阵的秩的关系:
1、如果 A 满秩,则 A* 满秩;
2、如果 A 秩是 n-1,则 A* 秩为 1 ;
3、如果 A 秩 < n-1,则 A* 秩为 0 。(也就是 A* = 0 矩阵)
矩阵满秩,R(A)=n,那么R(A-1)=n,矩阵的逆的秩与原矩阵秩相等,而且初等变换不改变矩阵的秩,A*=|A|A-1,R(A*)=n
R(A)=n-1,行列式|A|=0,但是矩阵A中存在n-1阶子式不为0,对此有:
AA*=|A|E=0,从而r(A)+r(A*)小于或等于n,也就是r(A*)小于或等于1,又因为A中存在n-1阶子式不为0,所以Aij≠0,得r(A*)大于或等于1,所以R(A*)=1
R(A)<n-1,那么A的所有n-1阶子式全为零,A*即为零(规定:零矩阵的秩为零),故R(A*)=0
扩展资料
矩阵的秩的性质:
1、矩阵的行秩,列秩,秩都相等。
2、 初等变换不改变矩阵的秩。
3、 矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb}。
4、P,Q为可逆矩阵,则 r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)。
5、当r(A)<=n-2时,最高阶非零子式的阶数<=n-2,任何n-1阶子式均为零,而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号,所以伴随阵为0矩阵。
6、当r(A)<=n-1时,最高阶非零子式的阶数<=n-1,所以n-1阶子式有可能不为零,所以伴随阵有可能非零(等号成立时伴随阵必为非零)。